非线性齐次时滞系统H_∞控制

资源类型:pdf 资源大小:902.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:安士伟

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【作者】 方建印  郭晓丽  程桂芳 

【关键词】非线性H∞控制 齐次系统 时滞系统 泛函Lyapunov函数 状态反馈控制律 

【出版日期】2005-05-25

【摘要】讨论了非线性齐次时滞系统的H∞控制问题.首先给出了非线性仿射齐次时滞系统的Lyapunov泛函V(x)具体形式,选取适当的λ* ,使得当λ>λ*时系统的Hamilton-Jacobi-Isaacs不等式有解,从而解决了系统的L2 增益问题.文章最后构造了具体状态反馈控制律u(x) ,使时滞Lyapunov泛函V(x)沿闭环系统轨线导数小于零,保证了系统的渐进稳定性,因而解决了系统的H∞控制问题.

【刊名】数学的实践与认识

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1 引  言非线性系统的 H∞ 控制问题是控制领域的一个热点问题 ,近年来引起了广泛的讨论 .借助微分几何和耗散的理论 ,非线性 H∞ 控制问题就变成了一个解 Hamilton-Jacobi-Issacs方程或不等式的问题[3— 7] .然而 ,对于一般的非线性系统来说 ,HJI不等式的解的存在和求解讨论是非常困难的 ,非线性 H∞ 控制律的构造就更是不容易 .近几年 ,特殊系统的非线性的 H∞ 控制的控制律的构造有了一些较好的结果 ,例如 [8] ,[2 ] .文章 [2 ]中对于一种特殊形式的正则非线性齐次系统给出了 Lyapunov函数和状态反馈控制律的具体简单形式 .然而对于带时滞项的非线性 H∞ 控制问题的没有进行讨 ,在实际控制问题中 ,时滞问题是大量存在的并且会造成系统不稳定和性能的改变 .本文我们讨论了文章 [2 ]中所研究的非线性齐次系统加时滞项后的 H∞ 控制问题 .文章 [3 ]研究了以下非线性系统 :x=f ( x) + g1 ( x) u + g2 ( x)ω,x∈ Rn,ω∈ Rpz =h( x) + D( x) u,z∈ Rl,u∈ Rm ( 1 )其中 f( 0 ) =0 ,h( 0 ) =0 ,ω是所有扰动信号 ,u是控制信号 ,z是输出变量 ,f( x) ,g1 ( x) ,g2 ( x) ,h( x)和 D( x)是 C1 光滑的 ,且 DT( x) D( x)是行满秩的 ,DT( x) h( x) =0 .定义 1 系统 ( 1 )的状态反馈 H∞ 控制定义按以下形式给出 :对ω∈ Lp2 [0 ,T) ,T >0或T =∞ ,存在一个正的λ*,对 λ>λ*,可以构造处状态反馈控制律 u=u( x) ,使得以下两式成立 :( i)若初始条件为 x( 0 ) =0 ,则∫T0 z Tzdτ λ2∫T0 ωTωdτ ( 2 )   ( ii)若ω =0 ,则闭环系统是渐稳的 .定义 2 设 V:Rn → R+是 ( 1 )的 Lyapunov函数 ,称H ( V,x,u,w) = V x( f + g1 ( x) u + g2 ( x)ω) + z Tz -γ2ωTω 0 ( 3 )是 ( 1 )的 HJI不等式 ,其中 V( 0 ) =0 .文章 [2 ]研究了系统 ( 1 )的特殊形式 :x=f( x) + B1 u + B2 ω,x∈ Rn,ω∈ Rpz =h( x) + Du,z∈ Rl,u∈ Rm ( 4 )其中 f( x) =[f1 ( x) ,f2 ( x) ,… ,fn( x) ] T,h( x) =[h1 ( x) ,h2 ( x) ,… ,hl( x) ] T.f是 k齐次向量 ,h是 k齐次函数 B1 ,B2 ,D是常数矩阵且 B1 是列满秩的 ,DTD满秩 .不失一般性 ,假设 DTD =s I,s>0 ,h TD =0 .本文研究以下带有时滞项的齐次非线性系统 :x=f( x) + fd( x) + Bu + Eω,x∈ Rn,ω∈ Rpz =h( x) + Du,z∈ Rl,u∈ Rm ( 5)其中 f( x) =[f1 ( x) ,f2 ( x) ,… ,fn( x) ] T,h( x) =[h1 ( x) ,… ,hl( x) ] T,fd( x) =f( x( t-d) ) .f是 k齐次向量 ,h是 k齐次函数 .B,E,D是常数矩阵 ,且 B是列满秩的 ,DTD =s I,s>0 ,h TD =0 .初始条件为 :x( t) =0 ,t∈ [-d,0 ] .引理 1 对于系统 ( 1 ) ,定义 1中 ( i)成立的必要条件是对于所有的 t>0 ,ω∈ Lp2 [0 ,t] ,x∈ Rn,存在非负的 Lyapunov函数 V:Rn → R+∪ 0 ,V( 0 ) =0 ,使得H ( V,x,u,w) = V x( f + g1 u + g2 ω) + z Tz -λ2 ωTω 0 ( 6)  假设 1 对于系统 ( 4 ) ,文章 [9]给出一个合理的假设 :假设存在一个正定的对称矩阵Pn× n,满足ker BT1 P { x∈ Rn:x TPf( x) <0 }∪ { 0 } ( 7)  引理 2 对系统 ( 4 ) ,若假设 1成立 ,则存在两个正的常数γ1 ,γ2 >0 ,对 x∈ S(单位球 ) ,下列两个不等式至少有一个成立 :x TPf( x) + 1γ1‖ h( x)‖ 2 0 ( 8)-‖ BT1 Px‖ + 1γ2 ‖ h( x)‖ 0 ( 9)  引理 3 若系统 ( 4 )满足假设 1 ,且 B1 =B2 ,取λ>λ*=s ,则 ( 4 )的 H∞ 控制问题是可解的 ,并且 Lyapunov函数 V( x)和状态反馈控制律以下形式给出 :V0 ( x) =α02 ( x TPx) k+1 2u( x) =-α02 s( x TPx) k- 1 2 BT1 Px其中α0 是一个大于某个常数的正数 .2 主要结果定理 1 若系统 ( 5)满足假设 1 ,且 B =E,λ>λ*=2 s时 ,则有当α足够大时 ,Vd =α2 ( x TPx) k+12 + 2 k1 sk2 ∫tt- df T( x(τ) ) f ( x(τ) ) dτ ( 1 0 )是系统 ( 5)的 HJI不等式H ( Vd,x,u*,w*) = V0 xf -14 s V0 x BBT TV0 x + 14λ2 V0 x EET TV0 x+ h Th + V0 xfd + 2 k1 sk2( f Tf -fd Tfd) ( 1 1 )的解 .其中记 V0 ( x) =α2 ( x TPx) k+12 ,极值点 u*( Vd,x) =-12 s BT TV0 x ,ω*( Vd,x)= 12λ2 ET TV x,并记 k1 =maxx∈ S‖ Px‖2 ,k2 =minx∈ S‖ BTPx‖2 .证明  f,h均是 k齐次的 ,所以 H ( Vd,x,u*,w*)是 2 k齐次的 .问题的讨论在 Rn中的单位球 S上 .记C+={ x∈ Rn:x TPf 0 }C- ={ x∈ Rn:x TPf <0 }显然 ker BTP和 C+是闭集 ,C-是开集 .由假设 1知 ker BTP C- ∪ { 0 } ,所以存在一个开集 G0 ,它的闭包是 G和它的补集 G0(闭集 ) ,使得 ker BT1 P G0 ∪ { 0 }和 G C- ∪ { 0 } .把单位球表示为 :S=( S∩ G)∪ ( S∩ G0 ) ,记k3=-maxx∈ Gx TPf >0 ,  k4=maxx∈ Gh Th( x) 0 ,  k5 =minx∈ S∩ G0‖ BTPx‖ >0k6=maxx∈ S∩ G0‖ h( x)‖ 0 ,  k7=minx∈ S∩ G( x TPx) ,  k8=maxx∈ S∩ G0( x TPx) ( 1 2 )由 V0 =α2 ( x TPx) k+12 ,得 V0 x =α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 1 2 x TP则 ( 1 1 )可以写成 :H ( Vd,x,u*,w*)=α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 1 2 x TPf -α2 ( k + 1 ) 21 6s ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx+ α2 ( k + 1 )1 6λ2 ( x TPx) k- 1 x TPEETPx + h Th + TV0 x fd + 2 k1 sk2( f Tf -fd Tfd) α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 1 2 x TPf -α2 ( k + 1 ) 21 6s ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx+ α2 ( k + 1 ) 21 6λ2 ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx + ‖ B1 TPx‖28s‖ Px‖2 V0 x VT0 x+ 2 s‖ Px‖2‖ BTPx‖2 f Tdfd + 2 k1 sk2 ( f Tf -f Tdfd) α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 12 x TPf -α2 ( k + 1 ) 21 6s ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx+ α2 ( k + 1 ) 21 6λ2 ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx + α2 ( k + 1 ) 23 2 s ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx+ 2 k1 sk2 f Tf + hh T= α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 1 2 x TPf -α2 ( k + 1 ) 21 612 s-1λ2 ( x TPx) k- 1 x TPBBTPx+ 2 k1 sk2f Tf + hh T α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 12 x TPf -α2 ( k + 1 ) 21 612 s-1λ2 ( x TPx) k- 1 x TPB1 BT1 Px+ 2 k1 sk2 f Tf + hh T ( 1 3 )下面分两种情况进行讨论 :( i)当 x∈ S∩ G时 ,取θ1 =2β1( k + 1 ) kk- 1 27( 1 4 )类似于引理 2中的 ( 8)证明 ,可选取βk3 M1 .其中 M1 =maxx∈ S∩ G2 k1 sk2f Tf +‖ h‖ 2 .当α>θ1时 ,H ( Vd,x,u*,w*) <β1 x TPf + M1 <M1 k3x TPf + M1 0   ( ii)当 x∈ S∩ G0 时 ,记 k9=maxx∈ S∩ G0( x TPf) ,θ=α( k + 1 )2 ( x TPx) k- 12 ,记M2 =maxx∈ S∩ G02 k1 sk2f Tf +‖ h‖ 2 ( 1 5)则 ( 1 3 )变成H ( Vd,x,u*,w*) θk9-θ2412 s-1λ2 k25 + M22方程θk9-θ2412 s-1λ2 k23 + M22 =0的正根为 :θ1 =2 k9+ 2 k29+ 12 s-1λ2 k25M221 212 s-1λ2 k25 0取θ2 =2θ1( k + 1 ) kk- 1 26,则若α >θ2 ,有 :H ( Vd,x,u* ,w*) <θ1 k9-θ21 412 s-1λ2 k25+ M22 0取α* =max(θ1 ,θ2 ) ( 1 6)则当α>α*时 ,H ( Vd,x,u*,w*) 0 , x∈ S.由于 H ( Vd,x,u* ,w*)是 2 k齐次的 ,因而对任意 x∈ Rn不等式成立 .定理 2 若系统 ( 5)满足假设 1和λ >2 s,系统 ( 5)的非线性 H∞ 控制问题是可解的并且它的控制律以如下形式给出 :u( x) =-3α( k + 1 )1 6s ( x TPx) k- 12 -4 k1 s( x TPx) k- 12k2 k1 0 k1 1 α( k + 1 ) f Tf BTPx其中 k1 0 =minx∈ S( x TPx) k- 1 ,k1 1 =minx∈ S‖ BTPx‖2 .证明 选取 Vd 如 ( 1 0 ) ,α的选取如定理 1可大于某一个固定常数 ,则有H ( Vd,x,u,w) H ( Vd,x,u,w) -H ( Vd,x,u*,w*) =‖ u -u*‖2 -λ2 ‖ω -ω*‖2H ( Vd,x,u*,w) H ( Vd,x,u* ,w* ) 0两边积分 :∫T0 H ( Vd,x,u*,w) dt=Vd( T) -Vd( 0 ) + ∫T0 ( z Tz -λ2 ωTω) dτ由 xd( t) =x( t-d)的初始条件知 :t∈ [-d,0 ]时 ,x( t) =0 ,Vd( T) -Vd( 0 ) =V0 ( T)+ 2 k1 sk2 ∫TT- df Tfdτ >0 ∫T0 z Tzdτ λ2∫T0 ω

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