随机环境下依人口数控制两性分枝过程的极限行为

作者:邓坤山;卢准炜 刊名:太原理工大学学报 上传者:其麦巴珍

【摘要】考虑独立同分布环境下依人口数控制两性分枝过程,其中后代概率分布受一个随机环境过程影响,配对函数依赖人口数,参与繁衍后代的配对单元数又受控制函数约束。讨论了当k→∞时,均值rk,θ趋于极限rθ>1(rk,θ是繁衍分布的均值),得出了模型的一些概率性质以及Wn依L1收敛的必要条件。

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关于两性G-W分枝过程已有很多作者对其进行过研究[1-4],最近GonzlezM与MolinaM等作者又建立了控制两性G-W分枝过程以及变化环境中的两性G-W分枝过程模型[5,6],马世霞研究了独立同分布环境下两性G-W分枝过程[7]。本文考虑的是独立同分布环境下控制两性分枝过程,其中后代概率分布受一个随机环境过程所影响,配对函数依赖人口数,参与繁衍后代的配对单元数又受控制函数约束,并且给出了概率模型以及解释,推得了模型的一些概率性质以及Wn依L1收敛到W的必要条件。1概率模型设(,F,P)是给定的概率空间,(,)是一个可测空间。={n()}n=0是从(,F,P)到(,)上的一个独立同分布的随机环境序列。若Z0=N1,Zn*=(Zn),Zn*(Fn+1,Mm+1)=i=1(fni,mni),Zn+1=LZn*(Fn+1,Mn+1).其中,在Z+上取非负整数的上可加函数,且满足(0)=0,{(fni,mni)}i1,在给定环境n下为独立同分布的,其共同的概率母函数为fn(s,t),{Lk}k0在Z+Z+上是一取非负整数值的函数序列,且Lk(x,0)=Lk(0,y)=0,x,yZ+,则{Zn}就是本文讨论的所谓独立同分布随机环境依人口数控制两性分枝过程。本文约定,对kZ+,Lk是上可加函数且关于k也上可加,即对n2有nLki=1xi,ni=1yini=1Lk(xi,yi),xi,yiZ+,i=1,2,…,n,且Lk+jLk+Lj.2主要结论与证明设fn(s,t)=k,l=0pkl(n)sktl,n(s,t)=E(sFntMn),gZn(s)=E(sZn),s,t[0,1],nZ+.命题1对s,t[0,1],nZ+,若(Zn)Zn,则n+1(s,t)EgZn(fn(s,t)).证明n+1(s,t)=E[E[sFn+1tMn+1|Zn]]=k=0E[E[s(k)i=1fnit(k)i=1mni|n]]P(Zn=k)k=0E[fn(s,t)]kP(Zn=k)=EgZn(fn(s,t)).设(n)=lims1fn(1,1)-fn(s,1)1-s,(n)==limt1fn(1,1)-fn(1,t)1-t.则(n),(n)分别为第n代随机环境为n时,每个配对单元所生女的平均值与生男的平均值,且{(n),(n)},n=0,1,2,3,…是独立同分布的。命题2若E[(n)]0rk,.证明由于是上可加的,则(x,y)(x)+(y).(k+j)rk+j,=(Zn)EL(Zn)i=1(fni,mni)|Zn=k+j,n=EL(k+j)(k)+(j)i=1(fni,mni)|n=EL(k)+(j)i=1(k)(k)+(j)(fni,mni)|n=EL(k)i=1(fni,mni)|n=+EL(j)(j)i=1(fni,mni)|n==krk,+jrj,.(k)+(j)其中,由于i=(k)+1(fni,mni)和(j)i=1(fni,mni)在给定的环境n=下为同分布变量,所以第五个等式成立。对krk,利用上可加函数一些经典结论可以推得命题成立。设k,=rk,-r,Wk=ZkMk,W0=Z0,W=supnWn1,c>0,n=1f(cmn)0}上有n=0Wnk-1i=0ri=n=0|Zn|Z0+m-1nv=0E(WvZv,v).{EWn}有界,易知存在常数K,满足nv=0E(WvZv)0}上有n=0Wmn1,对n0有|an+1-an|anf(anmn),则存在一个常数a,使得limnan=a;存在一个常数z0依赖函数f(x)和m,若a0>z0则a>0.定理3假设存在一个正的不增

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