任意振幅单摆周期近似公式

作者:袁庆新;李亮 刊名:物理与工程 上传者:郭成建

【摘要】文中提出一个精度较高的单摆周期近似公式,在任意振幅范围内,其计算结果可代替椭圆积分表.

全文阅读

物理与工程  Vol. 19  No. 5   2009 作者简介  袁庆新(1978 年出生) ,男 ,河南濮阳人 ,郑州航空工业管理学院数理系讲师 ,主要从事大学物理教学与研究. 任意振幅单摆周期近似公式 袁庆新  李  亮 (郑州航空工业管理学院数理系 , 河南 郑州   450015) (收稿日期: 200901206)摘  要  文中提出一个精度较高的单摆周期近似公式 ,在任意振幅范围内 ,其计算结果可代替 椭圆积分表. 关键词  单摆 ;周期 ;近似解 APPROXIMATE PERIOD FORMULA FOR SIMPLE PENDULUM WITH ARBITRARY AMPLITUDE Yuan Qingxin  Li Liang (Department of Mathematics and Physics , Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management , Zhengzhou , Henan 450015) Abstract  A more accurate period formula for simple pendulum with arbitrary amplitude has been presented. With this formula , the calculated results can replace the tables of elliptical integrals. Key Words   simple pendulum ; period ; approximate formula   众所周知 ,单摆运动周期的准确公式为[1] T = T0 2 π∫ π / 2 0 dφ 1 - k2 sin2φ ≡ T0 2 π K( k) (1) 式中 , T0 = 2π L/ g; k = sin(θ 0 / 2) ,θ 0 为单摆的最 大摆角(振幅) ; K( k) 为第一类椭圆积分. K( k) 不能用简单的基本函数表示 ,一般的计算器又没有计算该积分的功能 ,所以使用时必须查椭圆积分表 ,这在实用性上受到了一定限制. 为方便起见 ,在一定精度要求下 ,我们可利用现有的各种近似公式[2~8] 代替准确公式使用 ,可是这些近似公式又受到摆角不能太大的限制. 据我们所知 ,在众多近似公式中 ,无论在精度、公式易记、易用性还是在适用摆角范围上 ,文献[2 ]中的近似周期公式当属最优的[9] . 但是该公式还是受到摆角范围的一定限制 ,而本文则旨在对其进行改善 ,使适用摆角范围不再受到任何限制 ,这为今后的手头计算提供了一个很好选择. 文献[2]给出单摆周期近似公式为 Tap1 = T0 1 cos(θ 0 / 2 - θ3 0 / 256) (2) Tap1简单、易记、易用且近似程度非常好(见图 1) , 在 0°到 133. 3°摆角范围内 ,其最大相对误差仅为0. 1 %(标准误差 ,即采用精度 1s/ 1000 的计时器所带来的实验误差) ,在一定程度上可取代椭圆积分表. 从文献[10]可得出近似公式 Tap2 = T0 2 πln 4 cos(θ 0 / 2) (3) Tap2也是简单、易记和易用 ,而它在 171. 6°到 180° 的摆角范围内相对误差才小于 0. 1 %. 公式(2) 和公式 (3) 各有自己的特点 :一个是摆角不能太大 , 一个是摆角不能太小. 鉴于这个特点 ,我们可把二者写到一起组成一个新的近似公式 ,考虑

参考文献

引证文献

问答

我要提问