基础位移作用下悬挂弹簧的非线性固有振动

作者:吴晓;罗佑新;杨立军;孙逢春 刊名:北京理工大学学报 上传者:马世茂

【摘要】研究基础位移作用下悬挂弹簧的非线性固有振动问题.建立了基础位移作用下悬挂弹簧减振系统的非线性固有振动方程,采用L-P法推导出了悬挂弹簧非线性固有振动的近似解.通过算例分析可知:随着基础位移激励频率的增大,悬挂弹簧减振系统时程曲线的振幅、振动周期降低,而基础位移激励振幅、悬挂弹簧减振系统的倾斜角增大,悬挂弹簧减振系统时程曲线的振幅也增大.所以,悬挂弹簧几何非线性振动系统的减振效果优于弹簧垂安线性减振系统的减振效果.

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文献[1-2]中把斜支撑弹簧减振系统按线性减振系统进行理论分析.文献[3]中对包装工程中的斜支撑弹簧减振系统进行论述,但没有进行理论分析.文献[4-5]中对非线性包装系统在基础振动激励下的响应进行了计算机仿真和分析.文献[6]的作者研究了斜支撑弹簧减振系统竖向非线性自振,并对斜支撑弹簧减振系统进行了理论探讨和定量分析.至今还未发现采用非线性理论对基础位移激励下悬挂弹簧减振系统振动进行研究的文献.基于上述原因,作者研究基础位移激励下悬挂弹簧几何非线性减振系统的振动.1减振系统的振动方程在图1所示悬挂弹簧非线性减振系统中,上下各有4根相同的弹簧支撑重物,虚线位置表示重物还未对弹簧起作用,此时弹簧未变形长度为AE=BF=CH=GD=l0,弹簧刚度均为k,且AEF=BFE=CHG=DGH=.当减振系统在重物作用下平衡时,设OO1=h,C1HG=D1HG=,A1EF=B1FE=1,可知在重物作用下弹簧的长度分别变为图1悬挂弹簧减振系统示意图Fig.1ShockabsorbersystemwithpendulumspringC1H=D1G=l1=l20cos2+(l0sin-h)2,A1E=B1F=l2=l20cos2+(l0sin+h)2.(1)所以,减振系统在重物作用下的静平衡方程为4k(l0-l1)(l0sin-h)/l1+4k(l2-l0)(l0sin+h)/l2=mg.(2)由式(1)、式(2)即可求出减振系统在重物作用下的静位移h及和1的大小.随之减振系统在重物作用下的静平衡位置也就确定了.以减振系统在静平衡时的重物中心O1为坐标原点,坐标方向以向下为正,当重物围绕原点O1做自由振动时,弹簧变形后的长度分别为C1H=D1G=l3=l21cos2+(l1sin-y)2,A1E=B1F=l4=l22cos21+(l2sin1+y)2.(3)所以,减振系统做自由振动时的控制方程为mg-4k(l0-l3)(l1sin-y)/l3-4k(l4-l0)(l2sin1+y)/l4=md2ydt2.(4)将式(1)、式(3)代入式(4)中,利用级数展开后略去y4以上项,可得d2ydt2+式中:20=8km-4kl0mcos2l1+cos21l2;=6kl0msin1cos212l2-sincos22l1;=2kl0m(1-6sin2)l31-(1-6sin21)l32.令悬挂弹簧减振系统的基础位移激励为y1(t)=asint.(6)利用弹性振动理论可以得到悬挂弹簧减振系统在基础位移激励下的非线性振动方程为20y+y2+y3=0.(5)d2ydt2+20(y-asint)+(y-asint)2+(y-asint)3=0.(7)2减振系统近似解为了求悬挂弹簧减振系统在基础位移激励下的近似解,可令u=y-asint.(8)将式(8)代入式(7)中,式(7)可以化为d2udt2+20u+u2+u3=a2sint.(9)在式(9)中,由于位移激励项不含有小参数,因此可令u=V+a220-2sint=V+Asint.(10)将式(10)代入式(9)中,可以得到d2Vdt2+20V+(V+Asint)2+(V+Asint)3=0.(11)设式(11)的初始条件为t=0,V(0)=a0,dV(0)dt=0.(12)采用L-P法可以得到图1所示悬挂弹簧减振系统在基础位移激励下的近似解为1=0+3a2080+3A240,(13)y(t)=a2020-2sint+a0cos1t-(a20+A2)220+a20620cos21t+a203220cos31t+212-213Aa20220

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