随机环境中分枝过程灭绝概率的性质

作者:李应求;王月娇;尹悦 刊名:数学理论与应用 上传者:潘晔

【摘要】本文给出了随机环境中分枝过程概率母函数以及灭绝概率的性质.

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1引言作为经典分枝过程的推广,Wilkinson和Smith[10]在1969年最早提出了后代分布随环境变化的随机环境中分枝过程这一模型,此时的环境序列为独立同分布环境.Athreya和Karlin[1-2]将上述模型推广到了平稳遍历的随机环境中,接连发表了两篇文章,讨论了这种新模型的灭绝概率问题,并且建立了一些与经典分枝过程的极限定理平行的相应定理.近几年来,随机环境中分枝模型引起了越来越多的数学及相关学科工作者的浓厚兴趣,得到了一系列重要的研究成果,详见文献[4-8]及其后的参考文献.本文第2节讨论了在随机环境情形下第n代单个粒子产生的后代数Xni对应的条件概率母函数的性质.第3节讨论了在随机环境情形下第n代粒子总数Zn对应的条件概率母函数的性质.在研究概率母函数的性质之前,我们首先给出一些基本的记号和基本知识.设T={0,1,2,…}为时间集,N={1,2,…}为正整数集,E={0,1,2,…}为状态.设(,I,P)为概率空间,(,)是一个可测空间,={n;n0}为定义在(,I,P)上取值于(,)的随机变量序列.{pi():}是关于iE的概率分布列.记P()=P(),对应地,有记号E().设={n,nT}是概率空间(,I,P)上的环境,{Zn,nT}和{Xni,nT,iN}均是(,I,P)上的E值随机变量序列,且满足i)P(Z0>0)=1,Zn+1=Zni=1Xni,ii)P(Xni=j)=pj(n),a.s.,其中jE,例外集与n,i,j无关.iii)mN,kT,j01,…,j0m,…,jk1,…,jkmE,P(Xni=jni,1im,0nk)=kn=0mi=1P(Xni=jni),a.s.,例外集与k,m,j01,…,j0m,…,jk1,…,jkm无关.称{Zn,nT}是随机环境中的分枝过程,简记{Zn,nT}是BPRE.设第n代单个粒子产生的后代数Xni对应的条件概率母函数为fn(s)E(sXni)=j=0pj(n)sj,则第n代粒子总数对应的条件概率母函数为n(;s)=E(sZn)=f0(f1(…fn-1(s)…)).2Xni的概率母函数定理2.1(1)fn(0)=p0(n),fn(1)=1.对n0,在集合{p0(n)+p1(n)<1}上,有(2)fn(s)在[0,1]是严格凸和递增的.(3)若f'n(1)1,则fn(s)>s,s[0,1).(4)若f'n(1)>1,则fn(s)=s,s[0,1),有唯一根.证明(1)由定义易得.(2)因为f'n(s)=j=1jpj(n)sj-1,fn(s)=j=2j(j-1)pj(n)sj-2,和p0(n)+p1(n)<1,故存在k2,使得pk(n)>0,从而有f'n(s)0,fn(s)0,且只有s=0时取等号.故证毕.(3)令gn(s)=fn(s)-s,则gn(s)=fn(s)>0,s(0,1).g'n(s)关于s[0,1)严格递增.由于g'n(1)=f'n(1)-10,故g'n(s)<0,s[0,1),即gn(s)严格单调递减,故gn(s)>gn(1)=0,从而有fn(s)>s,s[0,1).(4)由条件f'n(1)>1有f'n(1)-1>0,由此及gn(1)=0,我们有lims1-gn(s)s-1=lims1-gn(s)-gn(1)s-1=g'n(1)=f'n(1)-1>0,从而由极限的保号性,>0,使得当s(1-,1)时,有gn(s)<0.但gn(0)=fn(0)=p0(n)0,由fn(s),s[0,1),的连续性得证根的存在性,往证唯一性.若s1,s2是根,且0s11,则q(n)<1.证

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