与GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式相关的两个函数

作者:时统业;吴涵;焦寨军 刊名:贵州师范大学学报(自然科学版) 上传者:康一坡

【摘要】构造了一个与GA-凸函数有关的带有参数的积分,利用GA凸函数的定义导出关于GA凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,由此引出两个与此不等式相关的函数,通过研究它们的准线性和单调性,获得了关于GA凸函数的Hermite-Hadamard型不等式的新的加细。

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0引言与引理设f(x)是[a,b]上的下凸函数,则f(a+b)21b-abaf(x)dxf(a)+f(b)2(1)称为Hermite-Hadamard不等式。近年来,人们给出(1)式的各种改进和推广[1-11]。文[12]引入了两个函数H(f;a,b)=baf(x)dx-(b-a)f(a+b)2,L(f;a,b)=f(a)+f(b)2(b-a)-baf(x)dx,并给出下列结果:对任意acb,有0H(f;a,c)+H(f;c,b)H(f;a,b)(2)0L(f;a,c)+L(f;c,b)L(f;a,b)(3)称H(f;a,b),L(f;a,b)满足不等式(2)、(3)的这种特性为准线性。文[13]引入两个与下凸函数f(x)有关的函数:G(x,y)=yxf(s)ds-yxfts+(1-t)x+y(2)ds,E(x,y)=(y-x)(f(x)+f(y))-yxf1+t2x+1-t2(s)+f12+ty+12-t((s))ds,t[0,1],并研究了G(x,y)的准线性及G(x,y)、H(x,y)关于单个变元的单调性。定义1[14]设f(x)是定义在区间I(0,+)上的连续函数,如果对于任意a,bI和t(0,1),有f(atb1-t)tf(a)+(1-t)f(b),则称f(x)在区间I是GA-下凸的;如果不等号反向,则称f(x)在区间I上是GA-上凸的。文[15]给出GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,文[16]引入了与GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式有关的两个函数A(f;a,d)=daf(x)dx-(d-a)f1edd(aa)(1)d-a,B(f;a,d)=d-a(lnd-lna-a)f(a)+d-d-alnd-ln(a)f(d)-adf(x)dx,并证明了它们具有准线性。受文[13]的启发,本文给出与GA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式相关的两个函数,并研究它们的准线性和单调性。引理1[17]设f(x)是定义在[a,b](0,+)上的GA-下凸函数,则()xf-'(x)和xf+'(x)在(a,b)上单调不减;()对任意x,y[a,b],有xf+'(x)lnyxf(y)-f(x)yf-'(y)lnyx,等号成立当且仅当f(x)=c+dlnx,其中c,d是常数。引理2[18]如果()函数f(x)在区间[a,b]上连续,()对任意x(a,b),f-'(x)与f+'(x)存在,那么,存在(a,b),p0,q0,p+q=1,使得pf-'()+qf+'()=f(b)-f(a)b-a引理3[15]设函数f:[a,b](0,+)为GA-下凸函数,则f1ebb(aa)(1)b-a1b-abaf(x)dx1lnb-lna-a(b-a)f(a)+b-ba-1lnb-ln(a)f(b)(4)1主要结果及其证明下面的定理1给出(4)式右端部分的一个加细。定理1设f(x)是定义在[a,b](0,+)上的GA-下凸函数,则对任意x,y[a,b],x<y,定义关于t的函数G(x,y;t)=1y-xyxlny-lnslny-lnxfx1+t2s1-t(2)[+lns-lnxlny-lnxfy1+t2s1-t(2)]ds,t-1,[1],那么()G(a,b;t)是[-1,1]上的下凸函数,()1b-abaf(s)ds=G(a,b;-1)G(a,b;t)1+t21lnb-lna-a(b-a)f(a)[+bb-a-1lnb-ln(a)f(b)]+1-t21b-abaf(s)ds1lnb-lna-a(b-a)f(a)+bb-a-1

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