关于几何凸函数的积分型Jensen不等式

作者:宋振云 刊名:湖北职业技术学院学报 上传者:王景福

【摘要】考虑几何凸函数的几何凸性,研究了其Jensen型不等式的连续形式,利用定积分的定义和几何凸函数的一个充要条件,建立了几何凸函数的积分型Jensen不等式及其加权形式.

全文阅读

0引言及结论设f(x)是IR+上的几何凸函数,对任意xiI及i[0,1](i=1,2,…,n),若ni=1i=1,则fni=1x(i)ini=1(f(xi))i.(1)特别地,当1=2=…=n=1n时,(1)式即为fnn槡i=1x(i)槡ni=n1f(xi).(2)若f(x)为I上的几何凹函数,则不等式(1)、(2)中的不等号反向.一般地,称不等式(1)、(2)为几何凸函数的离散型Jensen不等式,简称为几何凸函数的Jensen型不等式.关于几何凸函数的研究,尤其是关于几何凸函数的应用研究,已取得许多重要成果(见文献[1-8]).本文基于几何凸函数的几何凸性,考虑对其离散型Jensen不等式的连续性推广,通过定积分的定义推算和几何凸函数的一个充要条件的运用,建立了几何凸函数的积分型Jensen不等式及其加权形式.主要结果如下:定理1设()是[a,b]上的连续正值函数,f(x)是([a,b])上的可微几何凸函数,则fexp1b-abaln(x)((dx))expb1-abalnf((x))(dx).(3)若f(x)在([a,b])上是可微的几何凹函数,则不等式(3)中的不等号反向.定理2设()和()是定义在[a,b]上的连续正值函数,f(x)是([a,b])上的可微几何凸函数,则fexpba(x)ln(x)dxba(x)((dx))expba(x)baln(f(x)(x))dx(dx).(4)若f(x)在([a,b])上是可微的几何凹函数,则不等式(4)中的不等号反向.1预备知识定义1[1-3]设f(x)是定义在IR+上的正值函数,若对任意x1x2I及[0,1],有f(x1x12-)(f(x1))(f(x2))1-(5)则称f(x)是I上的几何凸函数;若不等式(5)中的不等号反向,则称f(x)是I上的几何凹函数.引理1[2]设f(x)是IR+上的二阶可导正值函数,则f(x)为I上的几何凸(凹)函数的充要条件是:x[f(x)f(x)-(f'(x))2]+f(x)f'(x)()0,xI.(6)引理2设f(x)是IR+上的可导正值函数,则f(x)为I上的几何凸(凹)函数的充要条件是:lnf(x)()lnf(x0)+x0f'(x0)f(x0)(lnx-lnx0),x,x0I.(7)证明只证f(x)为几何凸的情形,对f(x)为几何凹的情形同法可证.1必要性.若f(x)为几何凸函数,则对任意x0,xI(x0x)及(0,1),有(f(x))(f(x0))1-f(xx10-),lnf(x)+(1-)lnf(x0)lnf(xx10-),[lnf(x)-lnf(x0)]+lnf(x0)lnf(xx10-),lnf(x)-lnf(x0)lnf(xx1-0)-lnf(x0),求上式当0+时的极限,得lnf(x)-lnf(x0)lim0+lnf(xx10-)-lnf(x0)=lim0+f'(xx10-)xx10-[lnx-lnx0]f(xx10-)=x0f'(x0)(lnx-lnx0)f(x0),即lnf(x)lnf(x0)+x0f'(x0)f(x0)(lnx-lnx0).2充分性.若(7)成立,现证明f(x)是几何凸的.对任意x1,x2I及(0,1),令x0=x1x12-,则x0I,由不等式(7)得lnf(x1)x0f(x0)f(x0)(lnx1-lnx0)+lnf(x0)lnf(x2)x0f(x0)f(x0)(lnx2-lnx0)+lnf(x0{)因此lnf(x1)+(1-)lnf(x2)x0f'(x0)f(x0)(lnx1-lnx0)+lnf(x0)+(1-)x0f

参考文献

引证文献

问答

我要提问