浅析2012年全国高考大纲卷理科数学压轴题

作者:杜岩 刊名:学周刊 上传者:王泉

【摘要】2012年高考已经落下了帷幕,高考成绩成为考生的历史,然而研究刚刚结束的高考试题,却是广大数学教师的热门话题。从6月7日下午五点以后,我省各新闻媒体、一线教师、省内外数学专家、千千万万的考生都对今年的高考数学试题进行了各种评论,众说纷纭,褒贬不一。下面笔者就今年高考理科数列题(即所谓的压轴题)谈谈自己的看法和体会,不妥之处还望各位同仁不吝赐教。

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学术研究 2013 年第 5 期 创新课堂 浅析 2012 年全国高考大纲卷理科数学压轴题 2012年高考已经落下了帷幕, 高考成绩成为考生的历史, 然而研究刚刚结束的高考试题,却是广大数学教师的热门话题。 从6月7 日下午五点以后, 我省各新闻媒体、 一线教师、省内外数学专家、千千万万的考生都对今年的高考数学试题进行了各种评论, 众说纷纭,褒贬不一。 下面笔者就今年高考理科数列题 (即所谓的压轴题) 谈谈自己的看法和体会,不妥之处还望各位同仁不吝赐教。 例.[2012年全国高考大纲卷理科数学第 (22)题(本小题满分12分)]函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn (xn, f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 (1)证明:2≤xn<xn+1<3; (2)求数列{xn}的通项公式。 考查目标:本题考查递推数列的意义、等比数列的概念、数列的通项公式、数学归纳法的应用, 综合考查考生运用数列知识进行运算求解和推理论证的能力。 试题评价:试题不落俗套,大胆创新,没有直接给出数列{xn}的递推关系,而是巧妙地以过两点P(4,5)、Qn(xn, f(xn))的直线PQn与x 轴交点的横坐标给出{xn}相邻两项之间的关系。 第(1)问中,要求证明不等式,实际上是证明数列{xn}的增减性和取值范围,根据题设条件,只能用数学归纳法解决问题。 同时,归纳法也为第(2)问求数列{xn}的通项公式奠定了基础。 与以往的求递推数列的通项公式的试题相比, 该题没有给出辅助数列,对于所求数列的通项完全需要充分发挥考生的主观能动性, 这也是本题一大亮点所在。这是近十年高考数列通项公式的最高要求,看似超出了中学教学要求的范围,实际上正是新课程改革理念中所倡导的实践精神和创新意识的体现, 这也是专家的匠心独在。该题对高考选拔高素质的创新人才具有很好的检测功能。 思考:高考备考不是一朝一夕的事。 打好高考这一硬仗, 与平时扎实有效的学习 是分不开的,十年寒窗,功到自然成。 仔细分析今年的高考数列解答题, 如果剥去该题的外壳,我们还有似曾相识的感觉,那就是2010年高考全国卷一理科数学最后一道压轴题: 已知数列{an}中,a1=1,an+1=c- 1 an ,a1=1, an+1=c- 1 an 。 (1)设c= 5 2 ,bn= 1 an-2 求数列{bn}的通项公 式; (2)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范 围。 如果把上边例题中的第(1)问和第(2)问的设问顺序换一下, 在解答时就可以按照常规思维,且求数列{xn}的通项公式时考生就可以联想类比2010年的这道考题, 并且可以借 鉴其解法做如下变式: 2012年全国高考大纲卷(22)题变式:函数f(x)=x2-2x-3。 定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn, f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 (1)求数列{xn}的通项公式; (2)证明:2≤xn<xn+1<3。 解题思路:(1)先由已知条件得出数列{xn} 的相邻两项之间的关系, 再通过巧妙构造新数列,化归转化成我们熟悉的等比数列,进而求出数列{xn}的通项公式。 (2)既可以利用第(1)问数列{xn}的通项公式的结论,利用数列的通项公式证明其单调性,确定范围;也可以应用数学归纳法证明。 解题过程: 解:(1)过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn 的直线的斜率k= f(xn)-5 xn-4 = xn2-2xn-8 xn-4 =x

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