关于(α,m)凸函数的几个积分不等式及其应用

作者:双叶;尹红萍; 刊名:湖北民族学院学报(自然科学版) 上传者:熊建

【摘要】研究了(α,m)-凸函数的一些性质,并利用H(o)lder不等式得到了一些新的(α,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,最后给出了这些不等式在特殊平均值中的应用.

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凸函数的研究非常活跃,并且它的研究具有重要的理论意义,它的应用也非常广泛.本文研究了(,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等,得到了几个结果,并给出特殊平均值中的应用.首先介绍一些与之相关的基本知识和基本概念.设fIRR是定义在I上的凸函数.a,bI,a0),m(0,1],若对任意的x,y(0,b],[0,1],有:f(x+m(1-)y)f(x)+m(1-)f(y),(3)则称f(x)为[0,b]上的m-凸函数.1993年,V.G.Mihesan给出了(,m)-凸函数的定义.定义3[3]设f[0,b]R(b>0),(,m(0,1]2,若对任意的x,y(0,b],[0,1],有:f(x+m(1-)y)f(x)+m(1-)f(y)(4)则称f(x)为[0,b]上的(,m)凸函数.文献[4-9]得到了上面凸函数的相关定理.定理1[4]设fIRR为I上的可微映射,a,bI,a1,则对每个[0,1]有下面不等式成立:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dt(b-a)1p+1()1/p1+1()1/q(1-)2|f'(a+(1-)b)|q+mf'am()q()1/q+2|f'(b)|q+mf'a+(1-)bm()q()1/q[]证明由引理1和H9lder不等式,有:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dt(b-a)(1-)210t|f'(t(a+(1-)b)+(1-t)a)|dt+(b-a)210(1-t)|f'(tb+(1-t)(a+(1-)b))|dt(b-a)(1-)210tpdt()1/p10|f'(t(a+(1-)b)+(1-t)a)|qdt()1/q+(b-a)210(1-t)pdt()1/p10|f'(tb+(1-t)(a+(1-)b))|qdt()1/q又因为|f'|q为0,bm[]上的(,m)-凸函数,所以:10|f'(t(a+(1-)b)+(1-t)a)|qdt|f'(a+(1-)b)|q+mf'am()q+1和10|f'(tb+(1-t)(a+(1-)b))|qdt|f'(b)|q+mf'a+(1-)bm()q+1因此有:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dt(b-a)1p+1()1/p1+1()1/q(1-)2|f'(a+(1-)b)|q+mf'am()q()1/q+2|f'(b)|q+mf'a+(1-)bm()q()1/q[]证毕.推论2在定理5的条件下,若=m=1时,则有下面不等式成立:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dt(b-a)1p+1()1/p12()1/q(1-)2|f'(a+(1-)b)|q+|f'(a)|q()1/q+2|f'(b)|q+|f'(a+(1-)b)|q()1/q[]定理6设fR0=[0,)R是R0上的可微映射,a,bR0,a1,则对每个[0,1]有下面不等式成立:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dtb-a21(+1)(+2)()1/q(1-)22(+1)f'(a+(1-)b)q+m(+1)f'am()q()1/q[+22|f'(b)|q+m(+3)f'a+(1-)bm()q()1/q]证明由引理1和H9lder不等式,有:f(a+(1-)b)-1b-abaf(t)dt(b-a)(1-)210t|f'(t(a+(1-)b)+(1-t)a)|dt+(b-a)210(1-t)|f'(tb+(1-t)(a+(1-)b))|dt(b-a)(1-)210tdt()1-1/q10t|f'(t(a+(1-)b)+(1-t)a)|qdt()1/q+(b-a)210(1

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