调和拟凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

作者:何春颖;双叶;王妍;宝音特古斯; 刊名:内蒙古民族大学学报(自然科学版) 上传者:梁秋梅

【摘要】根据调和拟凸函数的定义,利用调和拟凸函数和H?lder积分不等式,建立了若干个调和拟凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.

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1引言 先引进几个凸函数类的概念,下面的定义大家熟知的: 定义1.1设函数f:I?RR,若对任意x,yI和任意的[0,1],有 则称f为I上的凸函数. 文[1~3]中引入了下列拟凸函数的概念: 定义1.2[1~3]设函数f:I?RR,若对任意的x,yI,[0,1],有 则称f为I上的拟凸函数. 1985年,文[4]引入了m-凸函数的概念: 定义1.3[4]设f:?[0,b]R(b>0),m(0,1],若对任意的x,y[0,b],[0,1],有 则称f为[0,b]上的m-凸函数. 1993年,文[5]定义了(,m)-凸函数的概念: 定义1.4[5]设函数f:[0,b]R(b>0),(,m)(0,1]2,若对任意的x,y[0,b],[0,1],有 则称f为[0,b]上的(,m)-凸函数. 张天宇等人在文[11]中定义了调和拟凸函数的概念: 定义1.5[11]设函数f:I?R+=(0,)R,若对任意的x,yI和任意的t[0,1],有 则称f为区间I上的调和拟凸函数. 例设f(x)=x-r,xR+,对任意的t[0,1],若r1,有 当r1时,f(x)=x-r为R+上的调和拟凸函数. 席博彦和祁锋在文[6]中引进了调和算术m-凸函数的定义: 定义1.6[6]设m(0,1],函数f:(0,b]?R+=(0,)R,若对任意x,y(0,b]和任意的t[0,1],有 则称f为(0,b]上的调和算术m-凸函数. 关于凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式的研究一直是非常活跃的研究课题,首先文[7]中S.S.Dragomir等人给出了如下的凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式: 定理1.1([7])设函数f:I?RR为I上的可微函数,a,bI,a1,则 文[9]给出了下面的积分等式: 引理1.1设f:I?R+R在I上的可微函数,a,bI,a<b.若fL1([a,b]),则 关于调和凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式方面的研究见文[10~13],有关相关的文献见文[14~28]. 笔者研究调和拟凸函数的一类Hermite-Hadamard型积分不等式问题,得到了若干个不等式. 2主要结果 定理2.1设函数f:I?R+R,a,bI,a<b,且|f|L1([a,b]).若|f|为[a,b]上的调和拟凸函数,则 (b-a)2+4ablnH(a,b)-2ablnabmax{| f(a)|,|f(b)|}, 2(b-a) 其中H(a,b)= 2aba+b . 证由引理1以及|f|的[a,b]上的调和拟凸性,有 |??|| |dx| f(a)+f(b) 2 bf(x)b-aax2-ab | -2| -1?|? b2-aba01|1-2t|??at ||f????t+1-t|ab +1-t? b? ||dt?| ? b2-aba01|1-2t|??at+b1-t??-2max{| f(a)|,|f(b)|}dt ?? (b-a)2+4ablnH(a,b)-2ablnabmax{| 2(b-a) f(a)|,|f(b)|}. 则定理2.1证毕. 定理2.2函数,q>1,则 设函数f:I?R+R,a,bI,且a<b,|f|L1((0,b]).若|f|为[a,b]上的调和拟凸q |??|| bf(x)b-aax2ab |dx| f(a)+f(b) 2 - |max{| (b-a)(2-q)q(q-1)(q-1)q2(q+1)q(ab)1q(q+1)(q-1)q f(a)|,|f(b)|}?(b-a)??b(q+1)(q-1)? -a (q

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