映射导数为s-凸函数且在分数次积分下的Hadamard型不等式

作者:孙文兵; 刊名:吉林大学学报(理学版) 上传者:陈轩

【摘要】建立一个Riemann-Liouville分数次积分恒等式,并利用s-凸函数的定义以及H(o)lder不等式等,对可微的s-凸映射建立一些涉及Riemann-Liouville分数次积分的新Hermite-Hadamard型不等式.

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1引言与预备知识令f:I瓗瓗是一个凸函数,且a,bI,a1,有1r-araf(x)dx-fa+r()2r-a44p+()11/p(f(a)+f(r)).(3)定理2[13]令f:I*瓗瓗在I*上是可微映射(I*表示I的内部),a,bI*且a1.如果映射fp在[a,b]上是凸的,则1b-abaf(x)dx-fa+b()231-1/p()8(b-a)(f(a)+f(b)).(4)定义1[14]函数f:[0,)瓗,对所有的x,y[0,),[0,1]以及某一个固定的s(0,1],如果f(x+(1-)y)sf(x)+(1-)sf(y)成立,则称f为第二种意义下的s-凸函数,记为K2s.显然,当s=1时,s-凸性即为函数定义在[0,)上通常意义下的凸性.定义2[10]令fL1[a,b],(瓗+)阶Riemann-Liouville积分Ja+f和Jb-f(a>0)分别定义为Ja+f(x)=1()xa(x-t)-1f(t)dt,x>a,Jb-f(x)=1()bx(t-x)-1f(t)dt,x0和01,则如下分数次积分不等式成立:(+1)(r-a)[(-1)J(a+r)/2-f(r)-J(a+r)/2+f(a)]+[-1+(-1)]12fa+r()22(s+1)2s(s+1)p+()11/p(f(a)+f(r)).(10)证明:根据引理2和H9lder不等式,可得(+1)(r-a)[(-1)J(a+r)/2-f(r)-J(a+r)/2+f(a)]+[-1+(-1)]12fa+r()2(r-a)1/20tf(r+(a-r)t)dt+11/2(t-1)f(r+(a-r)t)d[t](r-a)1/20tpd(t)1/p1/20f(r+(a-r)t)qd(t)1/[]q+(r-a)11/2(t-1)pd(t)1/p11/2f(r+(a-r)t)qd(t)1/[]q,其中1p+1q=1.因为fq在[a,b]上是第二种意义下s-凸的,则1/20f(r+(a-r)t)qdt1/20(tsf(a)q+(1-t)sf(r)q)dt=12s+1(s+1)(f(a)q+(2s+1-1)f(r)q),11/2f(r+(a-r)t)qdt11/2(tsf(a)q+(1-t)sf(r)q)dt=12s+1(s+1)((2s+1-1)f(a)q+f(r)q).通过计算可得1/20tpdt=11/2(t-1)pdt=12p+1(p+1).令a1=f(a)q,b1=(2s+1-1)f(r)q,a2=(2s+1-1)f(a)q,b2=f(r)q,这里0<1/q<1,q>1.由于对01,则如下分数次积分不等式成立:(+1)(r-a)[(-1)J(a+r)/2-f(r)-J(a+r)/2+f(a)]+[-1+(-1)]12fa+r()22+14p+()11/p(f(a)+f(r)).(11)证明:在式(10)中取s=1,可得结论.注2在推论1中,如果取=1,则由式(11)可得式(3).推论2令f:I[0,]瓗,在I上是一个可微映射,且fL[a,r],a,rI,a1,则如下不等式成立:1r-araf(x)dx-fa+r()2r-a2(s+1)2s(s+1)p+()11/p(f(a)+f(r)).(12)证明:在式(10)中取=1,可得结论.注3在推论2中,如果取s=1,则由式(12)可得式(3).定理4令f:I[0,]瓗,在I上是一个可微映射,且fL[a,r],a,rI,a1,则如下分数次积分不等式成立:(+1)(r-a)[(-1)J(a+r)/2-f(r)-J(a+r)/2+f(a)]+[-1+(-1)

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