强超弱紧生成Banach空间不动点性质

作者:张吉超;张文; 刊名:大连理工大学学报 上传者:李桂阳

【摘要】主要研究Banach空间的不动点性质,并给出一种全新的证明方法.首先利用超幂方法证明范数一致G光滑在凸集本身以及它的超幂上是相等的,然后利用反证法证明凸集在范数一致G光滑下对非扩张映射具有不动点性质,最后证明了每个强超弱紧生成的Banach空间在再赋范意义下满足每个弱紧凸集具有超不动点性质.

全文阅读

0引言文献[1]主要运用超幂方法先证明凸集具有超正规结构,然后结合凸集的超弱紧性得出该文中一个主要结果,即根据Kirk等[2]结论(一个具有正规结构的Banach空间中每个弱紧凸集对非扩张映射具有不动点性质)证明了每个强超弱紧生成空间在再赋范意义下满足每个弱紧凸集具有超不动点性质,此结论实质是Kirk等[2]结论的一个应用.本文将从超幂空间出发,运用超幂方法以及Maury[2]或者Goebel[3]关于弱紧凸集不具有不动点性质的构造方法,结合集合之间有限表示的结论,先去研究Banach空间中有界闭凸集的超不动点性质以及范数在凸集上一致G光滑的超性质,然后利用反证法直接去证明主要结论,避免去证明凸集的超正规结构,以期加强和推广超幂方法以及不动点理论中经典方法的应用,另一方面丰富凸集超不动点理论的内容.在本文,设X是一个实Banach空间,CX是一个非空子集,记C的闭包与C的凸包分别为C与coC,BX为X的闭单位球,A的仿射包为aff(A){=aixi=1,ai=1,xiA}.1预备知识Banach空间的超性质是Banach空间理论重要组成部分之一,常见的超性质空间有超自反空间、超不动点性质空间、超正规结构空间等,具有超性质的空间均以空间之间有限表示概念为桥梁,目的是通过有限维空间性质来研究整个空间性质,因此空间之间有限表示概念在研究空间的超性质中起着重要作用.在1972年,James[4]首先提出空间之间有限表示的概念和超自反空间的概念.定义1设X和Y是两个Banach空间,称Y在X中有限表示,如果对每个>0和每个有限维子空间FY,存在一个有限维子空间EX和一个线性映射T:FE满足TT-11+,即Banach-Mazur距离d(E,F)<1+.定义2称Banach空间X为超自反空间,如果对每个Banach空间Y在X中有限表示满足Y是自反空间.文献[5]首先把定义1中的线性子空间和线性映射分别用单形和仿射映射来代替,然后提出如下集合之间有限表示概念,利用集合之间有限表示的概念,最后给出了超弱紧集的概念以及它的性质.定义3设{xi}ni=0是X中n+1个向量,称凸包co(x0,x1,…,xn)为n-单形,如果向量{xi}ni=0是仿射无关的,即向量{xi-x0}ni=1是线性无关的.定义4设X和Y是两个Banach空间,CX,DY是两个非空子集,称D在C中有限表示,如果对每个>0和每个顶点在D中的n-单形SD,存在顶点在C中的n-单形SC和一个仿射映射T:SDSC满足(1-)x-yTx-Ty(1+)x-y;x,ySD定义5设C是Banach空间X中的一个非空有界闭凸子集,称CX为相对超弱紧集,如果任意Banach空间Y中的每个非空有界凸子集D在C中有限表示满足D是相对弱紧集.性质1(1)Banach空间X中的一个有界凸子集是相对超弱紧集当且仅当它的弱闭包是超弱紧集;(2)Banach空间X是超自反空间当且仅当BX是超弱紧集;(3)Banach空间X中每个紧凸子集是超弱紧集;(4)超自反空间中每个非空有界凸子集是相对超弱紧集;(5)超弱紧集是弱紧集.显然集合之间有限表示概念可以看作是空间之间有限表示概念的推广或局部化,而超弱紧集正好是超自反空间概念的局部化概念或推广概念.文献[5-6]继续深入研究超弱紧集的性质与特征,证明了Banach空间X中的一个有界闭凸集A是超弱紧集与集A具有有限指标性质(此概念可见文献[7])、集A具有有限对偶指标性质(此概念可见文献[8])、集A具有-凸函数近似性质(此概念可见文献[9])等更多其他数学家给出的概念是等价的;关于

参考文献

引证文献

问答

我要提问