有限域上negabent函数的若干结论

作者:任明生;卓泽朋;于瑞瑞; 刊名:淮北师范大学学报(自然科学版) 上传者:张勇学

【摘要】讨论一类迹函数表示的布尔函数,利用negabent函数的已有结论,给出该类函数为negabent函数的充要条件.

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0引言布尔函数在密码学中扮演着重要的角色,特别是在对称密码学中.Rothaus[1]介绍一类bent函数,这类函数在密码学和编码理论中非常重要.虽然许多具体构造的bent函数是已知的,但是一般的bent函数的结构仍不清楚.如果一个布尔函数的nega-Hadamard变换的绝对值都相等,那么称其为negabent函数.近年来,有很多关于negabent函数的研究成果[2-12].Stanica等[5-10]给出nega-Hadamard变换特征的详细结果,同时还给出negabent函数分解的一些结论;文献[7]讨论nega-Hadamard变换的结论;文献[8]利用二次丢番图积分方程研究negabent函数,给出判定函数是否为negabent函数的条件和间接构造negabent函数的方法;文献[11]给出含有奇数或偶数个变量布尔函数是negabent函数的充要条件,同时给出一种构造negabent函数的方法.1预备知识设F2表示只有两个元素的有限域.n元布尔函数是映射f:Fn2?F2,记Bn为所有n元布尔函数所组成的集合.整数集、实数集和复数集分别用Z,R和C表示.此外,R上的加法记为+,i;F2与Fn2的加法记作,i.元素x中1的个数称为x的汉明重量,记为t(x),即,t(x)=i=1nxi.如果一个布尔函数的真值表包含相等个数的0和1,即:t(f)=2n-1,说这个布尔函数是平衡的.函数f(x)和g(x)的距离用d(f,g)表示,也就是fg,即:d(f,g)=t(fg).设布尔函数f(x)Bn,对于任意x=(x)1,x2,?,xnFn2,f(x)Bn的代数正规型(ANF)为f(x)1,x2,?,xn=uFn2u????i=1nxuii,其中uF2,u=(u1,u2,…,un)Fn2;f(x)的代数次数deg(f)是ANF中变量最多的非零单项式的变元个数.代数次数最多为1的布尔函数称仿射函数,记作An.常数项为0的仿射函数叫做线性函数.在Fn2上的任何线性函数都可表示成x?=x11x22?xnn,其中x,Fn2.代数次数大于1的布尔函数,称为非线性函数.非线性n元函数f(x)的非线性度为nl(f)=mingAn(d(f,g)),即到所有n元仿射函数的最小汉明距离.如果x=(x)1,x2,?,xnFn2和y=(y)1,y2,?,ynFn2,,定义的数量积(或内积)为x?y=x1y1x2y2?xnyn.集合A的基数记为||A.若z=a+biC,则||z=a2+b2表示z的绝对值,z=a-bi表示z的复共轭,其中i2=-1,a,bR.fBn在任何点Fn2的Walsh-Hadamard变换可表示为Hf()=2-n2xFn2(-1)f(x)x(1)fBn在任何点Fn2的nega-Hadamard变换是复值函数:NHf()=2-n2xFn2(-1)f(x)?x?t(x).对一个整数n,函数fBn是bent函数当且仅当||f()=1对所有Fn2.类似的,f是negabent函数当且仅当NH||f()=1,其中Fn2.如果f是bent和negabent的,说f是bent-negabent的.在两种不同的傅立叶变换下,它们具有一些有趣的性质.负互相关系数f和g在为:NCf,g()=xFn2(-1)f(x)g(x)(-1)?x.(2)f在上的负自相关系数为NCf()=xFn2(-1)f(x)f(x)(-1)?x.(3)定义1设f(x),g(x)Bn,f(x)和g(x)的负相关平方和指标定义为f,g=Fn2NC2f,g().如果f=g,那么f,f称为f的负自相关平方和

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