关于等幂和中的一些问题

作者:陈景润;王天泽 刊名:中学数学杂志(高中版) 上传者:冯晴

【摘要】设s,k都是正整数,我们使用数学符号[a1,a2,…,as]k=[b1,b2,…,bs]k来表示{a1+a2+…+as=b1+b2+…+bsak1+ak2+…+aks=bk1+bk2+…+bk2ak+11+ak+12…+ak+1s≠bk+11+bk+21+…+bk+1s}成立.其中a1,a2,…,as;b1,b2,…,bs都是非负整数.

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关 于等幂和 中的一些 问题 中国科 学院数学研 究所 陈景润 王天泽 编者按 5月 22 El是伟 大的数 学家陈景 润先 生诞辰 80周年纪念 日.本文为陈景润先生 当年抱 病 所作 ,发表在本刊 1986年第 1期和第 4期上.今天重 设 s, 都是正整数 ,我们使用数学符号[口 ,。 , ⋯ ,0 ] =[b,,b。,⋯ ,6 ] 来表示 fol+n2+⋯+口 =61+b2+⋯+6 卜一 l o + +⋯+0 =b +b +⋯+6 【0 ¨+口 ¨+⋯ +口 k+1≠ + 。+⋯ + 成立.其 中 o ,n:,⋯,o ;6 ,b。,⋯,b 都是非负整数. 我国最著名的数学家华罗庚教授在他所著的《数论 导引》一书的 578页上有 [0,3] =[1,2] (1) [1,2,6] =[0,4,5]2 (2) [0,4,7,11]3=[1,2,9,10]3 (3) [1,2,10,14,18] =[0,4,8,16,17]4 (4) [0,4,9,17,22,26]5=[1,2,12,14,24,25]5 (5) [0,18,27,58,64,89,101]6: [1,13,38,44,75,84, 102]6 (6) [0,4,9,23,27,41,46,50]7 = [1,2,11,20,3O,39, 48,49] (7) [0,3083,3301,11893,23314,24186,35607,44199, 44417,475oo~。 = [12,2865,3519,11869,23738, 23762,35631,43981,44635,47488]9 (8) 在前文 中我们证明了(1)到(7)式是成立 的,当时所 用的定理是 : 设 [0l,02,⋯ ,n ] =[6l,62,⋯ ,6 ] ,其 中 81, 口 ,⋯ , ;b ,6 ,⋯,6 都是非负整数 ,则对任何整数 d≠0都有 [01十d,⋯,0 +d,b1,⋯,b ]^+1=[01,⋯,0 ,b1 +d,⋯,6 +d]川 成立.本文的目的是要避开使用电 子计算机 ,而用二项式定理来证 明(8)式是成立 的. 为此我们先证明下述两个引理. 发此文是为感念陈景润先生对本-T1和中学数学教育 事业的关爱.在这里我们共 同缅怀陈景润先生,同时 祝 愿我 国数学界人才辈出,再续辉煌. 引理 1 设 [6/, 一,。 ] =[b .-,b ] .其 中s, 都是正整数 ,0 一, ;b 一,b 都是整数 ,则对任意 整数 d都有 [ 1+d,⋯ ,n +d] =[b1+d,⋯ ,b +d] 成立. 证明 由 [口 一, ] =[b 一,b ] 的定 义 知 ,对整数 Z,1≤f≤ 有 口 +⋯ +口 =6 +⋯ +6 (9) 0 +⋯ +口 ≠6: +⋯ +6 (10) 由(9)式 ,我们有 ∑ = 1 Z ∑ i=0 s £ £ n +d) ∑ ∑( ) =∑ ∑( ) = i=1 』=0 =0 i=1 ∑ )(:) =∑ ( )(∑ )d = i=1 J=0 i=1 ∑ ∑ i= 1 = 0 由(9) (;) = ∑ (6 +d) i= l 和(10)式 ,我们有 )( ¨) +∑。 ¨≠ : 1 ∑(6 +矿 i= 1 (11) ¨) (⋯)dk+l = (12) 由(11)、(12)两式即知本引理成立. 引理 2 我 们 有 [12。,1 1881 ,20231 ,20885 , 23738 ] =[436 ,11857 ,20449 ,20667 ,23750 ]4. 成立.

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