充分非线性KdV-Burgers方程的最优控制

资源类型:pdf 资源大小:694.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:王德华

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【作者】 赵志峰  田立新 

【关键词】充分非线性KdV-Burgers方程 最优控制 最优解 

【出版日期】2005-03-30

【摘要】研究充分非线性KdV-Burgers方程:ut-kuxx+βuxxx+unux=f在Dirichlet边界条件下的最优控制问题.给出了边界条件下的充分非线性KdV-Burgers方程解的存在性以及解的稳定性,证明了充分非线性KdV-Burgers方程的最优解的存在性,为进一步研究充分非线性KdV-Burgers方程的理论和工程技术应用提供了理论基础和依据.

【刊名】江苏大学学报(自然科学版)

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  理解和认识流体中的湍流、流体中的水波和其他流的动力学行为是一个复杂的问题,特别是湍流的动力学行为和形成机制一直都是理论界和广大工程技术人员所关注的焦点和热点. 200多年来,在理论界有许多的科技工作者都投入巨大的精力研究流体的动力学行为,特别是其中部分学者在湍流的研究方面投入了毕生的精力来揭示其形成机制和结构,目的是为工程技术上的应用提供有力的理论支持和解决流体的途径;在各种工程技术应用中,控制流体流动和控制湍流的好处也是显而易见的.因为在工程技术上迫切要求解决以PDE为模型的控制问题,如湍流的控制,原子反应堆中的热流气体的控制,内燃机中热流气体的控制,水泵中水流的控制,流场的流线控制等.众多学者在物理背景下通过各种设备(外力、边界值、温度等 )来研究如何控制流体,在文献 [1]中指出湍流的组成结构在湍流形成过程中的重要作用,因此在各种工程技术中努力操纵湍流的内在结构与流体流的结构和行为就具有非常现实的意义.流体控制技术的关键是理想中所需要的状态以及在研究流体的优化和控制中所需要的研究步骤、方法和技术.控制流体的中心问题是流体控制技术的发展,即使在今天对粘性流体流的控制仍然是一个具有挑战性的课题,因为从计算的角度看,把严格控制理论应用于粘性流体的最大困难在于要求有很长的计算时间和计算机具有很强的记忆力.文献[2] ~[4]中提到用Karhunen-Loeve分解和奇异值分解来描述湍流形式的内在结构.  最优控制是现代控制理论的重要组成部分,在现代工程技术中得到广泛的应用.以ODE为模型的最优控制理论比较完善且得到广泛应用.以PDE为模型的最优控制理论比较难以解决,特别是非线性的PDE模型控制理论没有统一的理论和方法.最近对PDE模型控制理论的研究提出了两个方向,一是采用低模态的方法,化为ODE模型 [1];另外一种是采用拟最优控制的方法 [2].无论取道那个方向,都要从基础理论上证明最优解的存在性 [3].充分非线性KdV-Burgers方程是流体力学中的一种重要的非线性物理模型,它是流体流在一维空间中的描述.无论从理论的角度还是从应用的角度看,流体流的控制都是非常有意义的工作.Bosk ovic, Krstic和Liu[4]研究了ut-kuxx+μux=0在一定条件下的反馈控制以及利用反馈控制律得到指数稳定性.K.Kunish和S.Volkwein在文献 [5]中给出了Burgers方程的Galerkin-POD误差估计, 赵志峰和田立新给出了Burgers方程的最优控制 [6].作者在上述研究的基础上,研究充分非线性Burgers方程的最优控制.1 符号、引理与定理设T>0,Q= (0,T)×(0,1),V=H10 (0,1),V* 是V的对偶空间,H=L2 (0,1),W Q是一个开集且其测度大于零,u(t)、f(t)分别表示u(.,t)、f(.,t).考虑如下形式的充分非线性KdV-Burgers方程ut-kuxx+βuxxx+unux =f, f∈L2 (V* ) ( 1 )u(x,0) =(x), ∈H ( 2 )u(0,t) =u(1,t) =0 ( 3 )定义 1 设u(x,t)∈W(V),如果对 φ∈V,有:   〈ut(t),φ〉+k〈u(t),φ〉V+〈βuxxx,φ, < (unux)x,φ〉=〈f(t),φ〉V*,V且u(0) =,则称u(x,t)是式(1)的一个弱解.定理 1 对∈H,f∈L2 (V* ),方程(1)存在唯一的一个弱解u(x,t)∈W(V).证明见文献[6]、[7].引理 1 对 φ∈V,则‖φ‖L4 ≤ 2‖φ‖H‖φ‖V成立.证明见文献[8]、[9].引理 2 设φ∈H,f∈L2 (V* ),则存在一个常数c0 >0,使得下式成立 ‖u‖2W(V) ≤c20 [1+ (‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)2 ]2 ( 4 )其中c0,a都为常数证明 在式(1)的两边同时乘以u,且在区间(0,1)上积分可得12ddt‖u(t)‖2H +F(t) =〈f,u〉V*,V ( 5 )其中F(t) =-β2u2x(1,t) +β2u2x(0,t),F(t)是关于t的函数.对式(5)在(0,T)上对t积分可得12‖u(T)‖2H -12‖‖2H +a=∫10〈f,u〉V*,Vdt( 6 )其中常数a=∫T0F(t)dt,则可得‖u(T)‖2H -‖‖2H +2a=2∫10〈f,u〉V*,Vdt( 7 )由Holder不等式可得∫T0〈f,u〉V*,Vdt≤∫10‖f(t)‖V*‖u(t)‖Vdt≤    ‖f(t)‖L2(V* )‖u(t)‖L2(V) ( 8 )  将式(8)代入式(7),并由Young不等式可得‖u(T)‖2H≤‖‖2H -2a+1γ‖f‖2L2(V* ) + γ‖u‖2L2(V)‖u‖2L2(V) ≤1γ‖‖2H -2aγ+ 1γ2‖f‖2L2(V* ) ≤max1γ,1γ2,2γ(‖‖H + ‖f‖L2(V* ) +|a|)2 ≤c1 (‖‖H + ‖f‖L2(V* ) +|a|)2 ( 9 )其中c1 =max1γ,1γ2,2γ ‖u‖L2(V) ≤c1 (‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)(10)由式(5)可得12ddt‖u‖2H +γ‖u‖2V+F(t) =∫10fudx因此可知12ddt‖u‖2H +F(t)≤∫10fudx‖u‖2H≤‖‖2H +2‖f‖L2(V* )‖u‖L2(V) -2a≤‖‖2H +2‖f‖L2(V* ) c1 (‖‖H +‖f‖L2(V* ) +   |a|) -2a≤max(1,2 c1 ) (‖‖H +  ‖f‖L2(V* ) +|a|)2 (11)  又由式(1)得‖ut‖V* ≤‖f‖V* +γ‖u‖V+‖u‖H‖u‖V+    |β|‖u‖V =(γ+‖u‖H +|β|)‖u‖V+‖f‖V*则  ut‖2L2(V* ) ≤∫T02(γ+‖u‖H +   |β|)2‖u‖2V+2‖f‖2V* dt≤2∫T02[ (γ+|β|)2 +‖u‖2H]‖u‖2V+‖f‖2V* dt由式(10)、(11)可得‖ut‖2L2(V* ) ≤ 2∫T02[(γ+|β|)2 +max(1,2 c1 )×(‖‖H +‖f‖L2(V*) +|a|)2 ]‖u‖2V+‖f‖2V* dt=[2+4(γ+|β|)2c1 ](‖‖H+‖f‖L2(V*) +|a|)2 +4c1max(1, c1 )(‖‖H +‖f‖L2(V*) +|a|)4 (12)由式(9)、(12)得‖u‖2W(V) =‖u‖2L2(V) +‖ut‖2L2(V* ) ≤[c1 +2+4(γ+|β|)2c1 ] (‖‖H +‖f‖ L2(V* ) +|a|)2 +4c1max(1, c1 ) (‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)4 ≤c20 (‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)2 [1+(‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)2 ]≤c20 [1+(‖‖H +‖f‖L2(V* ) +|a|)2 ]2取c02 =max{ [c1 +2+4(γ+|β|)2c1 ], [4c1max(1,c1 ) ] },则定理可得证.2 充分非线性KdV-Burgers方程的分布式最优控制  研究如下带有控制项的充分非线性KdV-Burgers方程:ut-kuxx+βuxxx+unux =f+m (13)u(x,0) =(x), ∈H (14)由定理 1知,方程(13)存在一个弱解u.对上述控制方程选择如下的目标函数:  J(u,m) =12‖u-z‖2 +σ2‖m‖2 (15)其中z是想要达到的目标,σ是一个大于零的常数.式(13)、(15)的控制问题可归结为如下的形式:minJ(u,m) (16)其中(u,m)是式(13)的解.定义算子e= (e1,e2 ):X→Λ其中   e(u,m) =  (-Δ)-1 (ut-kuxx+βuxxx+unux-f-m)u(.,0) -此处Δ表示从H10 (Ω)到H-1 (Ω)的Lapalace算子.则问题(16)可转化为minJ(u,m) , s.te(u,m) =0 (17)下面以定理的形式给出问题(3)、(4)存在一个最优控制解.定理 2 问题(17)存在一个最优控制解.证明 设(u,m)∈X,且满足方程e(u,m) =0,则有J(u,m)≥σ2‖m‖2L2(W)由引理可知当‖m‖L2(W) →∞时,可推得‖u‖W(V) →∞当‖(u,m)‖X→∞,有J(u,m)→∞ (18)且limn→∞infJ(un,mn)≥12‖cu*‖2 -‖〈cu*,z〉‖ + 12‖z‖2 +σ2‖u*‖2L2 =J(u*,m* ) (19)因此J在X上是一个弱半连续无界的泛函.由于任给(u,m)∈X,有J(u,m) >0,所以存在一个ζ≥ 0,使得ζ=inf{J(u,m): (u,m)∈X且e(u,m) =0}(20)则就意味着在X中存在一个序列 { (uk,mk) }k∈N使得ζ=limk→∞J(uk,mk)e(uk,mk) =0,  k∈N由式(18)可知,存在(u*,m* )∈X,使得uk→u*, k→∞,k∈W(V) (21)mk→m*, k→∞, m∈L2 (W) (22)从式(20)可知 limk→∞∫T0(utk(t) -u*t (t),φ(t) )V*,Vdt=0 (23) φ∈L2 (V)因此W(V)→L2 (L∞ ),所以utk→u*.由于{uk}k∈N是弱收敛的,所以‖uk‖W(V) 是有界的,‖uk‖C(H) 也是有界的,由H lder不等式可得∫T0 ∫10( (uk)nu*x - (u* )nu*x )φdxdt=1n+1 |∫T0 ∫10( (u* )n+1 - (uk)n+1 )φxdxdt|= 1n+1 |∫T0 ∫10( (u* )n+1 - (u* )nuk+ (u* )nuk-(u* )n-1 (uk)2 + (u* )n-2 (uk)2 +… +u* (uk)n-(uk)n+1 )φxdxdt|≤1n+1∫T0 ∫10| (u* )n(u* -uk)φx |dxdt+1n+1 ni ∫T0 ∫10| (u* )n-i(uk)i(u* -uk)φx|dxdt+1n+1∫T0 ∫10| (u)n(u* -uk)φx|dxdt≤1n+1∫T0‖(u* )n‖L∞‖u* -uk‖L∞‖φ‖H10dt+1n+1∫T0‖(u* )‖L∞‖(uk)n‖H‖u* -uk‖L∞ ×‖φ‖H10dt+1n+1 ni ∫T0‖(u* )n‖L∞ ×‖(uk)i‖H‖u* -uk‖‖φ‖H10dt≤( 1n+1‖(u* )n‖C(H)‖u* -uk‖L2(L∞) +1n+1‖(u* )‖C(H)‖(uk)n‖C(H)‖u* -uk‖L2(L∞) ×‖φ‖L2(V) +1n+1 ni‖(u* )n-i‖C(H) ×‖(uk)i‖C(H)‖u* -uk‖L2(L∞)‖φ‖L2(V) → 0 (24) φ∈L2 (V)由式(21)还可知∫T0 ∫10(mk-m* )φdxdt→ 0 (k→∞) (25)由此可知e(u*,m* ) =0,  k∈N (26)因为u* ∈W(V),则u* (0)∈H,由uk→u* 可知uk(0)→u* (0),因此可得〈uk(0) -u* (0),φ〉H→ 0 (k→∞),则e(u* (0), m* (0)) =0由此定理得证.3 结 论给出了充分非线性KdV-Burgers方程的最优控制解的存在性,从理论上证明了解的存在性,为下一步的理论研究和工程技术应用提供了理论基础.第 2期             赵志峰等: 充分非线性充分非线性KdV-Burgers方程的最优控制@赵志峰$江苏大学非线性科学研究中心!江苏镇江212013解放

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