城市综合实力评价方法及应用

作者:童鹏; 刊名:经营管理者 上传者:王翀

【摘要】城市发展分析已成为当代社会关注和研究的焦点。如今许多城市的经济发展不仅处于一种非平衡的状态,而且地域差异性也日趋明显。对原始数据进行无量纲化和线性化的改进,运用改进的主成分分析对城市综合发展实力进行分析,指出各城市间的差异和经济地位。

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196 城市综合实力评价方法及应用 童 鹏  重庆工商大学数学与统计学院 摘 要:城市发展分析已成为当代社会关注和研究的焦点。如今许多城市的经济发展不仅处于一种非平衡的状态,而且地域差异性也日趋明显。对原始数据进行无量纲化和线性化的改进,运用改进的主成分分析对城市综合发展实力进行分析,指出各城市间的差异和经济地位。 关键词:主成分分析 聚类分析 城市发展差异 一、引言 主成分分析法通过降维技术运用部分具有代表性的综合指标代表原始的多个变量指标的统计分析方法。但在实际应用中,主成分分析法存在很多不足,很多学者从不同角度提出了改进方法。白雪梅、赵松山提出了解决数据无量纲化处理方法。徐雅静、汪远征提出数据均值化的处理方法。阎慈琳认为不同的特征向量组合影响综合评价的结果而采用第一主成分进行评价。童新安、许超采用中心标准化进行无量纲化的处理。陈述云、张崇甫认为主成分分析所采用的线性分析有碍于对定量综合评价做出定性分析,并提出非线性主成分分析的方法。以上研究均未解决第一主成分贡献率不足对评优排序所带来的影响,并且对原始数据采取不同的处理方法,根据第一主成分分值进行评优排序的结果也会不同。文章在以上研究基础上先对原始数据进行均值化、对数化、对数中心化、传统标准化处理,将以上几种方法的主成分得分再次进行主成分分析,然后选取第一主成分进行聚类分析,在很大程度上减少了因原始数据处理方法的不同所造成的误差。 二、传统主成分-聚类分析 主成分-聚类就是先对原始数据进行处理,然后进行主成分分析,再进行聚类分析,具体操作如下: 1.将原始数据按照传统标准化 进行相关处理; 2.计算相关系数矩阵 为原始系数 的相关系数, ,其中 3.计算系数矩阵的特征值与特征向量。根据特征方程 ,求出矩阵 的特征值,将特征值按大小排序 ;求出特征值对应的特征向量 ,要求 。 4.计算累计贡献率并确定主成分个数。第个主成分的累积贡献率: ,若前 个特征值的累积贡献率达到了85%- 95%,则这前 个特征值所对应的新变量为原始变量的第、第、…、第个主成分。 5.计算原始变量在 个主成分上的得分。计算出前 个主成分的载荷矩阵 ,将载荷代入下列方程组 ,即可计算得到前 个主成分的得分。 6.根据第一主成分得分进行聚类分析。 三、改进的主成分-聚类分析 1.原始数据无量纲化的改进。主成分分析的关键是依据协方差矩阵求出主成分,但是协方差矩阵容易受原始数据的量纲和数量级的影响。事实上,协方差矩阵能完整的反映原始数据指标的全部信息。而“均值化”后得到的协方差矩阵能够完全反映原始数据指标所包含的全部信息,因此,可以把“均值化”作为一种新的无量纲化方法。设原始数据 ,令 , ,得到数据矩阵 。设 的协方差矩阵 ,由于 中每个列向量的均值都为 1,则: 其中 为原始数据的协方差矩阵,特别地当 时, 。 2.原始数据的线性化。在实际应用中,原始数据各指标之间往往呈现出非线性相关的关系。如果采取传统的主成分分析,就会导致评价结果与事实之间的误差很大,所以必须对传统主成分线性降维的方法进行改进。常用方法有“对数中心化”、“对数化”,这里主要对 “对数中心化”方法进行介绍。 设有 个指标的原始数据 ,对原始数据作对数中心化变换 ;计算对数中心化数据的样本协方差矩阵 , 。从 出发求主成分:设 是 的 个特征根,是相应的标准化特征向量,则第 个非线性主成分为: ,余下步骤和传统主成分分析一样。 3.改进的主成分-聚类分析。首先对原始数据分别进行均值化、对数化、对数中心化、传统标准化处理,然后进行对应的主成分分析。由于不同的

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