s-对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

作者:席博彦[1] 祁锋[2] 刊名:数学物理学报:A辑 上传者:胡津瑄

【摘要】该文定义了"s-对数凸函数"的概念,并给出了可微s-对数凸函数的若干个HermiteHadamard型积分不等式,作为应用给出了平均数的几个不等式.

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数学物理学报 http://actams.wipm.ac.ca s一对数凸函数的 Hermite—Hadamard型积分不等式 席博彦 。祁锋 ( 内蒙古民族大学数学学院 内蒙古通辽市 028043;。天津工业大学理学院数学系 天津市 300387) 摘要:该文定义了 “s一对数凸函数”的概念,并给出了可微 s一对数凸函数的若干个 Hermite— Hadamard型积分不等式,作为应用给出了平均数的几个不等式. 关键词:积分不等式;积分等式; Hermite—Hadamard积分不等式;凸函数; s一对数凸函 数. MR(2010)主题分类:26A51;26D15;41A55 中图分类号:O178 文献标识码:A 文章编号:1003—3998(2015)03—515—10 1 引言 首先,我们引进入众所周知的凸函数的定义. 定义 1.1 设函数f:I St=(一。。,+。。)一 ,若对任意的X,Y∈ 和任意的 ∈[0,1]j 有 f(Ax+(1一 ) ) _,( )+(1一 ).厂( ), (1.1) 则称 .厂为 上的凸函数.若不等式 (1.1)的反向不等式成立,则称 ,为 』上的凹函数. 设 f:[a,b] — 为 [0,b]上的凸函数,则Hermite—Hadamard型积分不等式为 ,( ) 1 州 盟 . 2 若 _,为 上的凹函数,则不等式 (1.2)的反向不等式成立. 文献 f8]中引入了 s一凸函数的概念. 定义 1.2IS】设函数 ,: 酞o=[0,+∞)一 ,s∈(0,1],若对任意的 X,Y∈I和任意的 ∈[0,1]j有 f(Ax+(1一 ) ) f(x)+(1一 ) ,( ), (1.3) 则称 .厂为 ,上的 8一凸函数. 关于上述两类凸函数的 Hermite—Hadamard型积分不等式,有如下一些结果. 定理 1.1[。]设函数 .厂:I 一 在 。内可微, a,b∈I。,且 a<b. 收稿日期:2013—08—01;修订日期:2014—11—15 E—mail:ba~yintu78@qq.corn;qifeng618@gmail.com 基金项目:国家自然科学基金 (11361038)和内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZYI4191)资助 516 数 学 物 理 学 报 V_01.35A 【1)看 1为 1日J【a,bj上明曲凼甄,则 l盟 一 州 l< . (1.4) (2)若 l, Iv/(p-1)为区间 [a,b]上的凸函数,P>1,则 I 一 l<赤南[ 厂 . 5 定理 1.2【11】设函数 ‘厂:』 R—R在 I。内可微, 0,b E 。,且 a<b.若 1,fIq为区间 [a,b]上的凸函数,则 l 一 l< [ ]1/q 6 和 I,( )一 l< [ r 7 定理 1.31ol 设函数 ,: 一 肽为可微函数, 0,b∈I,且 a<b.若 1.厂 Ip/(p一 )为区 间[a,b]上的凸函数,P>1,则 I 州( )I b-a(p~)16 (口)Ip/(p-1)+3l,(6)lp/(p-1)] 1 +[31/ (。)I /(p一1)+I, (6)Ip p一1’]‘p一 ) (1.8) 和 I dx-f( )I< ( ) 9 定理 1.4[14] 函数 _,: 一酞为可微函数, 0,b E ,且 0<6·若 I.厂,lq为区间 [0,6] 上的凸函数, q 1,则 口⋯㈣ ( )卜 州 等

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