近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视

作者:周启杰 刊名:中学数学杂志:高中版 上传者:连贺林

【摘要】近几年全国新课标卷对于导数应用的考查,其难点一直围绕函数的单调性、极值(最值)展开,以导数为工具探究函数的性质,借此研究不等式、方程等问题,着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法,意在考查学生的运算求解能力,推理论证能力,充分体现数学理性思维的特点,从思维的层次性、深刻性、创新性等方面进行全面考查,凸显了高考试题的选拔功能,一直在履行压轴的使命.

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中学数学杂志 2016年第 5期 解析 由选择项可知结果与平行四边形 内角变 化无关,可用矩形代替,则所求两体积之比为型 = ,故应选 A. 例 12 设圆台的上下底半径分别为 r、 ,一个平 行于圆台底面的截面截圆台成体积相等的两部分 ,则 截面半径 r为( ). A. B.军~/-R+r c. /~ +r3 。. 2 + 2 解析 取极限状态,当 r=R时,应有截面半径分 别为 ,故应选 C. 例 13 双曲线 一 = 的两条渐近线互相垂t2 1 直 ,那么该双曲线的离心率是( ). A.2 B. c. D.÷ 解析 取两条互相垂直的渐近线为 Y— =0和 Y+ =0,与其对应的一双曲线可以是 一Y =1,从而 0=1,b=1,C=√2,可推出e=√2.故应选 c. 8 巧用特殊截面 例 14 棱台上 、下底面积分别为 。、 ,一个平行 于底面的截面把棱台的高分成两部分(从上至下)的 比为 A.则该截面的面积为( ). A. B. I+A+ .c + : 解析 A一 0,时,所求截面积 一 S。,故排除选项 B、D;又A=1时,S截为中截面,有公式2~/ = + 可知,|s中:( + ≥)z,故应选c. 9 取特殊位置 例 15 过抛物线 Y=∞ (口>0)的焦点 F作一直 线交抛物线于P、Q两点 ,若线段 与 的长分别是 P,q,则二 +一.It=( ). A.n B.2a C.4a D.1 解法 1 当所在直线平行于 轴时,PQ为抛物线 的通径,且 I PQ l:1 ,则 I PF I:I FQ l: ,从而 + 一 1 :2口+2口:4a.故应选 C. g 解法 2 当线段 PF的长无限增加时,I QF I一 ,则 4口, _+0, + 4口.故应选 c. 近几年宝国新课标眷身数压轴题规律避颜 山东单县教研 室 274300 周启杰 近几年全国新课标卷踺于导数应用的考查 ,其难 点一直围绕函数的单调性、极值(最值)展开,以导数 为工具探究函数的性质,借此研究不等式、方程等问 题,着重考查分类讨论 、数形结合 、化归与转化的数学 思想方法 ,意在考查学生的运算求解能力,推理论证 能力 ,充分体现数学理性思维的特点,从思维 的层次 性、深刻性、创新性等方面进行全面考查 ,凸显了高考 试题的选拔功能,一直在履行压轴 的使命.本文通过 解析近几年新课标卷导数压轴题,透视归纳导数压轴 题的命题规律. 类型 1 不等式恒成立求参数范 围 不等式恒成立求参数范围是导数应用 的热点问 题 ,常规方法有分参法 、函数最值法 ,但新课标卷对这 类问题的考查却别有洞天,往往利用函数的性质求解 参数的范围.2010、201 1、2013、2014年份的全国新课标 卷均考查了这种类型.下面以 2010、2014年份的试题 为例说明. 例 1 (2010年新课标理科)设函数 )=e 一1 一 一 口 2 . (1)若 口=0,求厂( )的单调区间; (2)若当 ≥0时,( )≥O,求 口的取值范围. 解析一 (1)口=0时 )=e 一1一 ( )=e 一 1. 当 ∈(一∞,0)时 ( )<0;当 ∈(0,+∞) 时 ( )> 0.故 )在 (一 ∞,0)单 调减 少 ,在 (0,+∞)单调增加. (2)‘,,( )=e 一1—2ax, 由(1)知 e ≥1+ ,当且仅当 =0时等号成立. 故厂( )≥ 一2ax=(1—2a) , 1 从而当 1—2a≥0,即 ≤ ,It时 ( )≥O( ≥ 二 0),而 0)=0, 51 劈%馒 馁 嗽 6醌 l 镌甄琵9 中学

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