三角形内角平分线定理的推广及其应用

作者:陈翠玲 刊名:数学教学研究 上传者:桑鹏

【摘要】本文现将三角形内角平分线定理的推广及其在证明几个著名几何定理中的应用介绍如下,供初中师生教学参考。

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66 数学教学研究 第 34卷第 8期 2015年 8月 三角形内角平分线定理的推广及其应用 陈翠玲 (江苏省邗江中学(集团)北区校维扬中学 225009) 本文现将三角形内角平分线定理的推广 及其在证明几个著名几何定理中的应用介绍 如下,供初中师生教学参考. 1 推广 如图 1,已知 P为AABC的AB 边上一 (内分)点,求证:嚣一船 . 图 1 证明 因为 =嚣(同高),所以 一 — -~CA~ — CPsin a CB·CPsin 8 CAsin口 PA == -_·-— ————一 = = 一 CBsin』9 PB‘ 显然,当 口= 时,则 sin口=sin ,所以 篇= .故该定理是三角形内角平分线定 理的推广,而三角形内角平分线定理则是该 定理的特例. 2 应 用 例 1 △ABC的 3个顶点各与一点 0 连结的直线AO,BO及CO 或其延长线交对 边Bc,CA,AB~:X,y,Z.求证: BX· · =1.(塞瓦 ceVa定理) 收稿 日期:2015—01-16 证明 a,p,0如图 2所示,则由推广得 BX 0lBsin口 CX Ocsin8’ 一 CX : 璺 业 .Ay OAsin 0’ AZ 0lAsin 0 BZ OlBsin 0。 由(1)×(2)×(3),得 一 BX . 一 CY . 丝 一1-__。一 ●—‘‘-⋯ CX Ay BZ (1) (2) (3) 图 2 例 2 求证三角形重心与顶点的距离等 于它与对边中点的距离的两倍.(三角形重心 定理) 如图 3,已知AABC 3边的中线 AD, BE,CF交于G,求证:GA=2GD,GB=2GE, GC= 2GF- 证明 口, 如图 3所示,则由推广得 一 GA : — AB sin a ., (1)GD BD 一 :=一 . 1 l J sin廖’ AE ABsin ABsin a , 一 = 一 = 一 = 1 . EC ECsin 2BDsin 一 一 2BD . (2) sin AB 。 一 将(2)代人(1)即得 GA=2GD. 同理可得 GB=2GE,GC2GF- 第 34卷第 8期 2015年 8月 数学教学研究 67 图 3 例 3 求证 :若 圆 内接 四边形 的两条对 角线互相垂直 ,则过对角线的交点且垂直 于 一 边的直线必平分其对边.(卜拉美古塔定理 Brahmagupta) 、 证明 如图 4,设 BHF一 EHD一~ EAH=a, 则由推广得 BF H Bsin FC HCsin(90。一 口) 一 一丽HB ·tan a .CCOS H & HC (1) 又在 RtAAHD ,tan a===再H D ,代人 (1)得 BF FC HC ·HA’ (2) 而 由相交弦定理 ,得 HB ·HD=HC·HA, 所 以 BF=FC. / .// 图 4 例 4 如图 5,已知四边型 AKLC的两 组对边的延长线交 于点 D 和 G,B为四边形 对角线的交点 ,DB的延长线交 KL 于 F,求 证 :瓦KF一 KG . (射影几何基本定理) 图 5 而 K B 一 DK — s — in a , (1)C BC D sin 8 、 百 K F 一 DK — s — in a , (2)L FL D sin 8 (1)÷ (2)得 一 . . (3) BC FL DC‘ 同理可得 一 . . (4’C CL DA B ‘ 、 KF AK ·DC FL AD ·CL。 又由梅涅劳斯定理知 AD KG LC . 丽 。瓦 ‘面 , KG AK ·D

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