空竭服务多级适应性休假Geom~X/G/1排队系统分析

资源类型:pdf 资源大小:543.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:龚洁

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【作者】 朱翼隽  胥秀珍 

【关键词】GeomX/G/1型排队系统 多级适应性休假 嵌入马尔可夫链 随机分解 

【出版日期】2005-03-30

【摘要】在空竭服务多级适应性休假Geom/G/1型排队系统的基础上,讨论空竭服务多级适应性休假GeomX /G/1型排队系统的稳态队长.利用嵌入马尔可夫链法,得到了稳态状态下顾客离去时刻系统队长的母函数,结果表明系统队长存在随机分解,而且附加队长有明确的概率意义.

【刊名】江苏大学学报(自然科学版)

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  顾客的到达和离去只能发生在有固定间隔的离散时刻的排队系统称为离散时间排队.在这样的排队模型中,到达间隔、服务时间是非负整值随机变量.离散时间排队是刻画计算机网络的最理想模型.这类排队系统首先由Meisling[1] 研究.对Geom/G/1排队模型,田乃硕[2]引进一种多级适应性休假规则,同时讨论了多重休假和单重休假模型.本文引进多级适应性休假进一步讨论GeomX/G/1模型,以得到多级适应性休假策略下,Geom/G/1是GeomX/G/1的特例.1 模型描述假定顾客批量到达,每批到达顾客数为X,其概率分布是P(X=n) =r, (n≥ 1).E(X) =rR(z) = ∞n=1rnzn.为了明确规定时刻n系统的状态,约定顾客到达只能发生于t=n- (即时刻t=n的前夕),n=0,1,2,…服务的开始结束时刻都发生于t=n+ (即时刻t=n的右侧),n=1,2,…这样的模型成为晚到达系统.到达间隔相互独立且服从同一几何分布fk =P(T=k) =ppk-1,k≥ 1,p=1-p,0 <p<1.服务时间S服从一般分布,服务与到达相互独立,服从FCFS服务规则,相应的母函数及其他量为F(z) = ∞k=1fkzk = ∞k=1ppk-1zk =pz1-zpG(z) = ∞gkzk,1=E(S), ρ=pr<1  在此排队模型中,引进多级适应性休假策略.一旦系统空出,服务员根据所要从事的辅助工作量,要求进行H次休假,H是非负整值随机变量,有分布和母函数为P(H=j) =hj, j≥ 1; H(z) = ∞j=1hjzj相继的每次休假时间Vk是独立同分布的离散随机变量有分布和母函数P(V=j) =vj,j≥ 1; V(z) = ∞j=1vjzj若在连续H次休假内没有顾客到达,完成H次休假后服务员进入通常的闲期,直到再有顾客到达.若对某个自然数k,1≤k≤H,在第k次休假时已发生顾客到达,则休假将在该次休假结束时终止然后进入忙期.2 嵌入马尔可夫链法求稳态队长设Ln表示第n个顾客被服务完时离开系统瞬间系统中的队长.由于到达间隔服从几何分布,故{Ln}是一个嵌入的马尔可夫链,而且当ρ<1时平稳解存在 [5].设X1,X2,…,Xj…是到达的第一批,第二批,…,第j批顾客的数量,而A表示一个服务期内到达的顾客总数量,则有Ln+1 =Ln-1+A, Ln≥ 1; Ln+1 =η, Ln =0其中η是忙期开始的第一个顾客离去后系统中的顾客数.设Pij=P{Ln+1 =j/Ln =i},当i≥ 1时 Pij=p{Ln+1 =j/Ln =i} =P{j=i-1+A} =P{A=j-i+1}令al=P{A=l}= ∞j=1 jk=0P(s=j)jkpkpj-kP(X1 +X2 +… +Xk =l),因为X1,X2,…,Xk,独立同分布,故X1 +X2 +… +Xk的分布为{rn}的k重卷积,记P(X1 +X2 +… +Xk =l) = (rl)k*,且A有母函数A(z) = ∞l=0 ∞j=1gj jk=0jkpkpj-k(rl)k* zl= ∞j=1gj jk=0jkpkpj-k ∞l=k(rl)k*zl= ∞j=1gj jk=0jkpkpj-k[R(z) ]k = ∞j=1gj[pR(z) +p]j=G[pR(z) +p] =G[1-p(1-R(z) ) ]当i=0时,记P0j=P{Ln+1 =j/Ln =0} =P(η=j) =bjη是忙期开始的第一个顾客离去后系统中的顾客数.如果该顾客是在闲期内到达的,他离去时系统中的顾客数是他服务期内到达的,加上与此顾客一起到达的一批顾客数减去 1;如果该顾客是在第k次休假内到达的,他离去时系统中的顾客数等于已知一个休假内确有到达的条件下到达的顾客数减 1,再加上他的服务期内到达的顾客数.以AI,AV表示服务期开始的第一批顾客是在闲期、假期到达;以cj表示休假时间内到达j个顾客的概率,则P(AI) = ∞l=1P(H=l) ∞k=lP(v(l) =k)pk= ∞l=1P(H=l) [V(p) ]l=H(V(p) )P(AV) =1-H(V(p) )cj= ∞l=1vl lk=0lk)pkpl-k(rj)k*, j≥ 0故bj=P(η=j) =H(V(p) )P(A+X=j+1) +1-H(V(p))1-V(P) j+1i=1ciaj-i+1 =H(V(p)) j+1i=1aj-i+1ri+    1-H(V(p))1-V(p) j+1i=1ciaj-i+1Markov链{Ln,n≥ 1}的转移概率矩阵是b0 b1 b2 …a0 a1 a2 …0 a0 a1 …  ……它与经典的无休假中的转移概率矩阵区别在于第一行.由转移概率矩阵的结构可以证明 [3]:系统正常返,当且仅当ρ=pr/u<1.设ρ<1,Lv表示休假系统中{Ln,n≥ 1}对应的稳态极限, {πk,k≥ 0}表示Lv的分布,即πk =P{Lv =k} =limn→∞P{Ln =k}, k≥ 0定理 当ρ<1时,Lv可分解成两个独立的随机变量之和Lv =L+Ld,这里L是经典的无休假GeomX /G/1中的稳态队长,Ld为由休假引起的附加队长,相应的母函数为L(z) =(1-ρ) [1-R(z) ]G[1-p(1-R(z) ) ]r{G[1-p(1-R(z) ) ] -z}   Ld(z) =1-H(V(p))R(z)-N[V(1-p(1-R(z))) -V(p)]H(V(p)) +NpE(V)(1-R(z))式中 N=1-H(V(p) )1-V(p)证明 稳态分布{πk,k≥ 0}满足πj=π0bj+ j+1i=1πiaj-i+1,j≥ 0.取母函数  Lv(z) =π0B(z) + ∞j=1 j+1i=1πiaj-i+1zj=π0B(z) + ∞i=1 ∞j=i-1πiaj-i+1zj-i+1zi-1 =π0B(z) + ∞i=1πizi-1A(z) =π0B(z) +1z(Lv(z) -π0 )A(z)由此解出Lv(z) =π0 (A(z) -zB(z) )A(z) -z其中A(z) =G[1-p(1-R(z) ) ]   B(z) = ∞j=0bjzj=H(V(p) ) ∞j=0 j+1i=1aj-i+1rizj+N ∞j=0 j+1i=1ciaj-i+1zj=H(V(p) ) ∞i=1 ∞j=i-1aj-i+1rizj+N ∞i=1 ∞j=i-1ciaj-i+1zj=H(V(p) ) ∞i=1rizi-1A(z) +N ∞i=1cizi-1A(z) =1z[H(V(p) )R(z)A(z) +N(C(z) -c0 )A(z) ]C(z) = ∞j=0 ∞l=1vl lk=0lkpkpl-k(rj)k*zj=V[1-p(1-R(z) ) ]c0 =V(p)将A(z),B(z),C(z)代入得   Lv(z) =π0 [A(z) -H(V(p))R(z)A(z) -N(C(z) -c0 )A(z)]A(z) -z使用正规化条件Lv(1) =1,及罗比塔法则,给出π0 =1-ρr1H(V(p)) +NpE(V)从而有   Lv(z) =(1-ρ)G(1-p(1-R(z)))r(H(V(p)) +NpE(V))[G(1-p(1-R(z))) -z]×{1-H(V(p) )R(z) -N[V(1-p(1-R(z) ) ) -V(p)]} =(1-ρ)(1-R(z))G(1-p(1-R(z)))r(G(1-p(1-R(z))) -z)×1-H(V(p))R(z) -N[V(1-p(1-R(z))) -V(p)](H(V(p)) +NpE(V))(1-R(z))对上述随机分解可作如下解释:  Ld(z) =H(V(p) )H(V(p) ) +NpE(V)+NpE(V)H(V(p) ) +NpE(V)×1-V(1-p(1-R(z) ) )pE(V) (1-R(z) )由此可知,附加队长以概率H(V(p) )H(V(p) ) +NpE(V)等于零,以概率NpE(V)H(V(p) ) +NpE(V)等于一个离散休假的剩余寿命内到达的顾客数.由定理容易给出下列均值公式:E(Ld) =Nrp2E(V2 -V)2(H(V(p) ) +NpE(V) )  E(Lv) =E(L) +E(Ld) =ρ+E(X2 -X) +r3p2E(S2 -S)2r(1-ρ)+Np2rE(V2 -V)2(H(V(p) ) +NpE(V) )现在求批量到达顾客中第一个接受服务的顾客的等待时间Wv的分布.这个顾客的等待时间等于批量到达的等待时间.如果把每批顾客看作一个“特殊的顾客”,因此批到达顾客中第一个服务的顾客的等待时间等于“特殊顾客”的等待时间.这时服务台工作时间应是“特殊顾客”的服务时间. 这样GeomX /G/1多级适应性休假排队问题转化为Geom/G/1问题.在Geom/G/1中“特殊顾客”(一批X个顾客)的服务时间的概率分布为  gk =P(S=k) = kl=1P(X=l)P(S1 +  S2 +… +Sl=k) = kl=1rl(gk)l* (k≥ 1)其中S1,S2,…,Sl表示一批到达的l个顾客中,第一,第二,…,第l个顾客的服务时间.若令G(z) = ∞k=1gkzk = ∞k=1 kl=1rl(gk)l*zk =  nl=1rl ∞k=l(gk)l*zk = ∞l=1rl(G(z) )l=R(G(z) )由多级适应性休假Geom/G/1排队系统的稳态等待时间母函数公式Wv(z) =(1-ρ) (p- (z-p)Ω(z) )β(pG(z) -z+p)式中 β=H(V(p) ) +1-H(V(p) )1-V(p)pE(V)Ω(z) =H(V(p)) +1-H(V(p))1-V(p)p(V(z) -V(p))z-p得Wv(z) =1-ρβp- (z-p)Ω(z)pR(G(z) ) -z+p  现在离散时间多重休假、单重休假GeomX /G/1和多级适应性休假Geom/G/1模型都可作为特例给出.例 1 多重休假、单重休假GeomX /G/1模型.多重休假取H≡∞,H(z) =0,有Lv(z) =(1-ρ)G(1-p(1-R(z) ) )E(V) (G(1-P(1-R(z) ) ) -z)×(1-V(1-p(1-R(z) ) ) )单重休假取H≡ 1,H(z) =z,有   Lv(z) = (1-ρ)G(1-p(1-R(z) ) )(V(p) +pE(V) ) (G(1-p(1-R(z) ) ) -z)× [1-V(p)R(z) -V(1-p(1-R(z) ) ) +V(p) ]例 2 多级适应性休假Geom/G/1模型.有p(X=1) =1, E(X) =1, R(z) =z  Lv(z) =1-ρβG(1-p(1-z) )G(1-p(1-z) ) -z×[1-zH(V(p) ) -1-H(V(p) )1-V(p)×(V(1-p(1-z) ) -V(p) ) ]空竭服务多级适应性休假Geom~X/G/1排队系统分析@朱翼隽$江苏大学理学院!江苏镇江212013 @胥秀珍$江苏大学理学院!江苏镇江212013GeomX/G/1型排队系统;;多级适应性休假;;嵌入马尔可夫链;;随机分解在空竭服务多级适应性休假Geom/G/1型排队系统的基础上,讨论空竭服务多级适应性休假GeomX /G/1型排队系统的稳态队长.利用嵌入马尔可夫链法,得到了稳态状态下顾客离去时刻系统队长的母函数,结果表明系统队长存在随机分解,而且附加队长有明确的概率意义.[1] MEISLINGT.Discretetimequeuetheory[J].OpenRes,1958(6):96-105. [2] 田乃硕.休假随机服务系统[M].北京:北京大学出版社,2001. [3] 田乃硕.多级适应性服务的离散休假排队[J].数学的实践与认识,1989(3):48-54.TIANNai s

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