会聚球面波圆孔衍射的一般积分式

资源类型:pdf 资源大小:710.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:徐胜

文档信息

【作者】 郭江  吕百达  段开椋 

【关键词】圆孔衍射 会聚球面波 强聚焦 倾斜因子 

【出版日期】2005-03-15

【摘要】分别从菲涅尔基尔霍夫和瑞利索莫非衍射积分公式出发,导出了考虑倾斜因子后会聚球面波经圆孔衍射的一般衍射积分表达式。所得公式不仅可计算衍射场的焦移,而且对弱聚焦和强聚焦情况均适用。并与Li和Wolf公式的结果进行了比较,结果证实所得公式适用广泛。

【刊名】强激光与粒子束

全文阅读

  近年来,人们对会聚球面波经圆孔的衍射情况进行了比较详细的研究[1~11],特别是 Li和 Wolf从惠更斯菲涅尔原理出发对小数值孔径的聚焦系统导出了衍射场的积分公式[2,3],有效地解决了小菲涅尔数聚焦系统衍射的焦移问题。但这些研究都是在近轴条件或弱聚焦(入射光场的聚焦半径f远大于光阑半径a)条件下进行的,都忽略了衍射公式中的倾斜因子,所以,对强聚焦(f比a 略大)或较大衍射角的情况不适用,不能满足实际工作中强聚焦情况和讨论非近轴衍射光场的需要。本文分别从菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式出发,对会聚球面波经圆孔衍射的情况,在 f比a 略大时进一步导出了考虑倾斜因子后的更一般的非近轴衍射积分表达式。用导出的衍射积分表达式对会聚球面波经圆孔衍射的情况进行了详细计算,并将计算结果与Li和Wolf公式(以下称为LW)的计算结果进行了比较和讨论,给出了LW公式的适用范围。1 衍射场的积分表达式  如图1所示,考虑均匀的单色会聚球面波U(P1)=(A/f)e-ikf通过半径为a 的圆孔光阑,会聚于几何焦点O。A/f为充满圆孔的波前S 上的振幅。Q(x1,y1,ξ-f)是波前 S上任意一点,C为波前S 与光轴的交点,=OC,P(x0,y0,z)是观察点。PQ=r01,OP=R。在a/λ 1时,衍射场可用不同标量衍射积分公式计算如下Fig.1 Converging spherical wave diffracted at a circular aperture图1 汇聚球面波在圆孔上的衍射  由菲涅尔 基尔霍夫衍射积分公式可得U(P) =1iλ SU(P1)eikr01r01(1+cosα2)dS =Aiλf Seik(r01-f)r01(1+cosα2)dS (1α为衍射角,积分对波前S所在面进行,如图1(a)所示,cosα= (r201 + f2 - R2)/2r01f,  R2 = r2 + z2 (2将(2)式代人(1)式可得U(P) =Ai4f2λ S(1+2fr01+f2 - R2r201)eik(r01-f)dS (3)设x0 = rcosψ,  x1 = aρcosφy0 = rsinψ,  y1 = aρsinφ(4)式中:r2=x20+y20;ψ、φ分别为r 和aρ在xOy 平面的方位角[1];ρ为无量纲参数,在0~1之间取值;r01 = (x0 - x1)2 + (y0 - y1)2 + (z -ξ+ f)2 (5)因为Q位于波前S 上,所以ξ= f - f2 - (aρ)2 = f(1- 1- F2ρ2) (6)其中F=a/f,注意:在LW所作的近似中,因为F=a/f 1,所以[3,4]ξ= a2ρ2/2f (6a)将(4)、(6)式代人(5)式,并注意到(aρ)2 + (f -ξ)2 = f2,得r01 = (f + z)2 + r2 -2aρrcos(φ-ψ) -2zξ= (f + z) -12(f + z)[2arρcos(φ-ψ) +2zξ- r2] -18(f + z)3[2arρcos(φ-ψ) +2zξ- r2]2 +…… (7)  如果积分式(3)的分母中r01用展开式(7)中第一项作近似,需要12(f + z)2[2arρcos(φ-ψ) +2zξ- r2] 1即F22(f +Ζ)2[2bρcos(φ-ψ) +2ZF2(1- 1- F2ρ) - b2] 1 (8)式中:Z=z/f,b=r/a,B=a/λ。  同样如果积分式(3)的指数中 r01用展开式(7)中前两项作近似,需要k8(f + z)3[2arρcos(φ-ψ) +2zξ-r2]2 2π,即BF38(1+ Z)3[2bρcos(φ-ψ) +2ZF2(1- 1- F2ρ) - b2]2 1 (9)因球面波前上的面元dS = f2sinθdφdθ (10)(注意:在LW所作的近似中 dS=a2dρdφ,即:使用平面面元对球面波前面元作近似)。  如图1(b),aρ=fsinθ,从而 dθ=d(aρ)/fcosθ,又cosθ=(f2-a2ρ2)1/2/f=(1-F2ρ2)1/2,所以 dS又可表为dS =a2ρ1- F2ρ2dρdφ (11)  如果积分式(3)分母中的r01和指数中的r01分别用展开式(7)式中的第一项和第二项作近似,并将(11)式代人,可得U(P) =Aπa2iλf2 ei∫10[21+ Z-b2F22(1+ Z)2]J0(2πFBb1+ Zρ)e-i2πBZ(1+Z)F(1- 1-F2ρ2) 11- F2ρ2ρdρ (12)式中:=2πBF[Z/F2+b2/2(1+Z)]。  由瑞利 索莫非衍射积分公式U(P)=1iλ SU(P1)eikr01r01cosαdS,使用与前面同样的处理方法可得U(P) =Aπa2iλf2 ei∫10[21+ Z-b2F2(1+ Z)2]J0(2πBFb1+ Zρ)e-i2πBZ(1+Z)F(1- 1-F2ρ2) 11- F2ρ2ρdρ (13)  积分表达式(12)、(13)是球面波经圆孔衍射的衍射光场的一般解析表达式,在不等式(8)、(9)满足时有效,二者的差别仅为式中中括号里的第二项的1/2的因子。若在近轴近似或弱聚焦条件下 a/f 1,即 F 1,此时式(12)、(13)取与LW表达式(参考文献[3]中(2.18))完全相同的形式,为U(P) =Aπa2iλf2 ei∫1021+ ZJ0(2πNb1+ Zρ)e-iπN1+ZZρ2ρdρ (14)式中:N=a2/λf=(a/λ)(a/f)=BF,是从几何焦点看系统的菲涅尔数[2,3]。可见 LW公式是(12)或(13)式在近轴或弱聚焦(a/f 1)情况下的近似。2 计算结果和比较分析  衍射光强为I=|U(P)|2。当观察点位于光轴上时,r=0,即b=0,式(12)、(13)相等。因此从菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式出发,导出的两个积分表达式给出的轴上光强分布相等。只使用式(12)及LW表达式(14)式分别计算了会聚球面波经圆孔衍射后轴上的光强分布,如图 2 (a)~(c)所示。图中 I0 =|πa2A/λf2|2,为由(14)式计算的几何焦点处的光强[3]。Fig.2 On axis intensity distribution(The calculation parameters are B=a/λ=1 000)图2 轴上光强分布(计算用参数B=a/λ=1 000)  对观察点不在轴上的情况,分别使用式(12)、(13)、(14)计算了衍射光场在焦平面Z=z/f=0、平行焦平面的观察面等不同观察平面上的光强分布。如图3 (a)~(c)所示。Fig.3 Transversal intensity distribution(The calculation parameters are B=a/λ=1 000)图3 横向光强分布(计算用参数B=a/λ=1 000)  轴上光强分布计算结果表明:(1)在弱聚焦或近轴近似条件下(f a),导出公式和 LW公式的计算结果几乎完全相同,如图2(a)所示,当a/f=0.003 时,在衍射区两者的最大差别小于等于 5×10-4%。完全可以忽略。可见本文分别从菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式出发,导出的积分表达式(12),(13),在f a条件下的计算结果与LW公式的结果相同,并且和 LW公式一样可计算出正确的焦移。(2) 随着 a/f值的增加导出的公式(12)或(13)与LW公式(14)的差别逐渐开始显现,见图 2(b)所示,当 a/f=0.3 时,两者计算结果的最大差别小于等于5%。可以认为LW公式已到达了有效范围的极限。(3) 当a/f=0.7时,如图2(c)所示,此时LW公式与导出公式的最大差别已达小于等于36%,LW公式已完全不适用,即 LW公式的近似条件(6a)已不成立。而我们所导出公式的近似条件不等式(8),(9)可证是满足的,所以导出公式仍有效。  由横向光强分布可看出:(1)本文分别从菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式出发,导出的积分表达式(12),(13)计算的横向光强在a/f取不同值时差别均非常小(小于等于2×10-5%),完全可忽略。说明两种传统的由不同边界条件导出的菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式,其倾斜因子在数学形式上的差别,对会聚球面波经圆孔衍射的衍射场分布影响很小。这可能是由于在衍射光强较大的区域二者的差别完全可忽略,而在二者可能产生差别的区域,衍射场的光强已趋于零的缘故,所以两式计算的衍射场的差别可忽略。这可从两式中存在1/2系数差别的项b2F2/(1+Z)2 给出定性的说明,因为当系统的F越大衍射光强趋于零的b值即λ/a值越小。如图3(c)所示,当a/f=0.7 时,b≥0.000 8 横向光强已几乎趋于零;由图 3(b)当a/f=0.3时,相应的b≥0.002;当a/f=0.003时,相应的b≥0.2,横向光强都几乎趋于零。总之,衍射光强较大的区域该项的贡献非常小,其差别可忽略,而当该项之值较大时,衍射光强已几乎为零了。(2)具有与轴上光强类似的特征。当a/f=0.003时,导出公式与LW公式的最大差别小于等于5×10-4%,如图3(a)所示,两者均有效;当a/f=0.3时两者最大差别小于等于4.8%,如图 3(b)所示,两者结果基本相符合,LW公式近似有效;当a/f>0.3时,a/f越大两者的差别也越大,在 a/f=0.7 时,两者最大差别小于等于 36%,如图 3(c)所示,此时LW不再有效。  以上计算结果表明,在弱聚焦条件下(a/f<0.3),非近轴效应可以忽略;但在强聚焦条件下,非近轴效应对光传输的影响会较大,随着a/f的增加,几何焦点处的光强有较大增加(和使用近轴的 LW公式计算出的结果相比),当a/f=0.7时,增加约36%,见图2(c)和图3(c)。而且,光轴上光强第一零点的位置和次极大的位置会向几何焦点的方向移动。当a/f=0.7时,第一零点位置从近轴时的0.002 85f移到0.002 45f,相对位移14%,次极大位置从0.004 1f移到0.003 5f,相对位移14.6%,见图2(c);整个衍射花样向几何焦点处收缩。  本文分别从菲涅尔 基尔霍夫和瑞利 索莫非衍射积分公式出发,导出的考虑倾斜因子后非近轴的一般衍射积分表达式(12)、(13),不仅可正确计算衍射场的焦移,而且对 f a弱聚焦和f 略大于a 强聚焦情况均适用,所得结果对光束精密聚焦研究有实际应用意义。对a/f 1的弱聚焦系统,导出公式取与 LW公式(12)相同的数学形式,说明LW公式仅仅是导出公式在a/f 1 条件下的近似。对 a/f=0.3 的聚焦系统,导出公式与LW公式的计算结果最大差别小于等于5%,基本相符合,可认为 LW公式仍近似有效。对 a/f>0.3 的强聚焦系统导出公式的计算结果与LW公式的结果已不相符合,此时 LW公式已经失效,这表明 LW公式只在a/f≤0.3弱聚焦的情况下有效。而导出公式不受f a条件的限制,所以比LW公式有更广泛的适用范围会聚球面波圆孔衍射的一般积分式@郭江$成都理工大学信息工程学院!四川成都610059四川大学激光物理与化学研究所,四川成都610064 @吕百达$四川大学激光物理与化学研究所!四川成都610064 @段开椋$四川大学激光物理与化学研究所!四川成都610064圆孔衍射;;会聚球面波;;强聚焦;;倾斜因子分别从菲涅尔基尔霍夫和瑞利索莫非衍射积分公式出发,导出了考虑倾斜因子后会聚球面波经

1 2

问答

我要提问