高速运动裂纹扩展和分叉现象的近场动力学数值模拟

作者:谷新保;周小平;徐潇 刊名:《应用数学和力学》 上传者:姚望

【摘要】首先介绍了近场动力学的基本理论,然后以两个实例分析了高速运动裂纹的扩展及分叉现象.分析了近场动力学参数(邻域半径、相邻节点距)及外部参数(材料的弹性模量、密度、温度改变量)等对裂纹分叉的速度和角度的影响并进行了对比分析,数值结果表明:随着邻域半径的增大,裂纹传播速度逐渐减少而裂纹分叉角度逐渐增加;随着相邻节点间距的增加,裂纹的传播速度逐渐减少而裂纹分叉角度也逐渐减少;裂纹分叉长度偏向于弹性模量小和密度大的材料;裂纹传播速度随着弹性模量差值的增大而增大,随着密度差值的减小而增大,同时随着外界温度改变量的增大而减少.近场动力学能自发地模拟裂纹扩展和分叉,不需要借助任何外部准则,不需要预先设置裂纹扩展路径,因此它具有天然的优势.

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引言对于脆性材料,在高速扩展情况下,裂纹会出现扩展分叉现象,有时甚至会出现多个分叉;裂纹在脆性材料和准脆性材料中高速扩展时的分叉现象,是力学和工程界感兴趣的研究课题之一[1].研究者提出了很多方法研究裂纹的扩展和分叉问题,传统的有限元方法首先被用来分析裂纹问题[2],但是由于裂纹尖端应力的奇异性,裂纹扩展和分叉必须通过引入外部断裂准则来判断,而且裂纹的成核问题一直未解决[3].为了解决上述困难,在传统有限元基础上,提出了扩展有限元理论[4],它允许裂纹沿着单元内部的任何位置启裂,而不仅仅在单元的边界启裂,同时也能模拟裂纹分叉问题,因此扩展有限元已经成功解决了许多裂纹问题.但是当位移不连续时,扩展有限元仍然需要引入外部准则和分叉准则,而且当涉及到多裂纹相互作用及其分叉时它具有一定的局限性,同时扩展有限元在解决三维裂纹问题时遇到了一系列困难.为了解决三维裂纹和多裂纹相互作用及其分叉问题,研究者提出了无网格法[5],例如光滑粒子流体动力学,它能模拟裂纹扩展和分叉问题,但是其遇到了拉伸不稳定性问题[6];分子动力学也被应用于模拟裂纹问题,但是它存在计算时间长,计算效率低下的问题[7].为了克服以上缺点,近场动力学理论(peridynamics)被引入模拟裂纹扩展和分叉问题,它是基于非局部思想建立的数值计算方法,不需要对位移微分,而通过求解空间积分方程来描述物质点力的一种数值方法[8],因此它既适用于连续性问题,也适用于不连续问题[9],同时不需要借助外部准则,突破了传统数值方法在模拟裂纹时存在的裂纹尖端奇异性问题;其兼有无网格法和分子动力学的优点,但又避免了分子动力学方法计算尺度上的局限,在模拟高速运动裂纹时能自发地产生扩展和分叉现象,而且裂纹扩展速度和裂纹扩展角度能被正确地模拟,特别是对脆性材料更为有效[10].因此该方法在模拟裂纹扩展和分叉问题时具有很大的优势.本文的组织如下:首先介绍了近场动力学基本理论,然后利用近场动力学理论分析了高速运动裂纹的扩展和分叉现象,并分析了外部参数和近场动力学参数对裂纹分叉速度和角度的影响,最后得出结论.1基本理论近场动力学是2000年由美国Sandia国家实验室的Silling等[11-12]提出的,其基本方程为(x)u(x,t)=H(t(k)(j)(u(j)-u(k),x(j)-x(k),t)-t(j)(k)(u(k)-u(j),x(k)-x(j),t))dH+b(x,t),(1)式中,为物质点的密度,H是x的邻域,u是物质点位移矢量,t(k)(j)(u(j)-u(k),x(j)-x(k),t)和t(j)(k)(u(k)-u(j),x(k)-x(j),t)分别是物质点位置x(k)和x(j)的力密度矢量状态场,b(x,t)是被施加的外力体密度.对于一个以键为基础的各向同性物质,必须满足以下公式:t(k)(j)(u(j)-u(k),x(j)-x(k),t)=12f(u(j)-u(k),x(j)-x(k),t)=12(x(j)-x(k),t)c(k)(s(k)(j)-T),(2)t(j)(k)(u(k)-u(j),x(k)-x(j),t)=12f(u(k)-u(j),x(k)-x(j),t)=-12(x(k)-x(j),t)c(j)(s(j)(k)-T),(3)式中,f(u(j)-u(k),x(j)-x(k),t)和f(u(k)-u(j),x(k)-x(j),t)分别是物质点x(k)和x(j)的对点力函数,是温度膨胀系数,T是温度变化量,s(k)(j)和s(j)(k)为物质点x(k)和x(j)的伸长率,其表达式为s(k)

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