随机环境中线性控制分枝链的概率性质

作者:侯传志;陆中胜 刊名:南京理工大学学报(自然科学版) 上传者:黄璇

【摘要】引进了随机环境中线性控制分枝链的基本概念,讨论了这种概率模型的灭绝概率,用生成母函数严格表达了第n步灭绝的概率,进而讨论了各类母函数之间的关系,并得到了随机环境中线性控制分枝链的期望公式;基于以上的结果,采用鞅方法,严格表达了随机环境中线性控制分枝链的增殖速度。

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随机环境中的分枝过程作为随机环境中马氏过程的特例,早在上世纪70年代就有人加以研究[1]。之后,Cogburn[2,3]、Orey[4]等人进一步发展了随机环境中的马氏过程的一般理论。在已有的关于线性控制分枝过程的结果的基础上[5,6],本文主要研究随机环境中线性控制分枝链的灭绝概率和增殖速度。1随机环境中线性控制分枝链的灭绝概率本文沿用的符号及随机环镜中马氏过程的定义、随机环境中h控制的分枝链的定义均与文献[7]相同,不再赘述。本文恒设(X,)是随机环境中的马尔可夫链,X是随机环境中h控制的分枝链,其中:h(x)=Kx+Q,X0=m,K,m是正整数,Q是非负整数。{Yk(n),n1,k1}是其生成随机变量族。记(;s)是其生成母函数,记n(;s)为Xn在随机环境中的母函数(其中n1,|s|1),记n(,Xn-1;s)为Xn在随机环境下的转移母函数,其定义也均来自文献[7]。在分枝过程的研究中,关于灭绝概率的研究是其中的基本问题。不失一般性,以下总规定状态0为吸收点,即若Xn=0,则tn,Xt=0且X01。给出两个记号:qn()=P(Xn=0|);q()=P(limnXn=0|)。定理1(1)q()=limnqn();(2)qn()=+i=0P(Xn-1=i|)[(n-1;0)]h(i);证明(1)记An={Xn()=0},A=(limnXn()=0},则易见集合序列{Ann1}为单调递增序列,并且limnAn=A,故q()=P(limnXn=0|)=nlimP(Xn=0|)=limnqn()。+(2)qn()=P(Xn=0|)=i=0P(Xn-1)=i|)P(Xn=0|Xn-1=i,)=+i=0P(Xn-1=i|)n(;i,0)=+i=0P(Xn-1=i|)[(n-1;0)]h(i)胡迪鹤[8]得出了随机环境中分枝链的数学期望,本文将这一结果推广到线性控制分枝链。引理1设(X,)为随机环境中的线性控制的分枝链,n+1(;s)为Xn在随机环境中的母函数,(n;s)为Xn的生成母函数,令bi=(1)(i;1),iN,则nE(Xn+1|)=Kn+1i=0bi+Qni=0Kiij=0bn-j证明由文献[7]中定理1知,n+1(,s)=Q(n;s)n(;K(n;s)),从而,(n1+)1(;s)=QQ-1(n;s)(1)(n;s)n(;K(n;s))+KQ(n;s)(n1)(;K(n;s))K-1(n;s)(1)(n;s)注意到(n;1)=1,n(;1)=1,所以E(Xn+1|)=(n1+)1(;1)=Q(1)(n;1)+K(1)(n;1)(n1)(;1)=Qbn+Kbn[Qbn-1+Kbn-1(n1-)1(;1)]=Qbn+KQbnbn-1+K2bnbn-1(n1-)1(;1)依次递推可得E(Xn+1|)=Knbnbn-1…b1E(X1|)+…+KQbnbn-1+Qbn。注意到X01的假设,从而KX0+QE(X1|)=E(i=1Y(i1)|)=K+Qi=1E(Yi(1)|)=(K+Q)(1)(0;1)=(K+Q)b0代入上式得nE(Xn+1|)=Kn+1bnbn-1…b1b0+KnQbnbn-1…b0+…+KQbnbn-1+Qbn=Kn+1i=0bi+Qni=0Kiij=0bn-j定理2设(X,)为随机环境中的线性控制的分枝链,控制函数为h(x)=Kx+Q,KN,Q为非负整数,则qn()=ni=0(iQiK+1…Kn)(0),其中(fg)表示f与g的复合。证明由文献[7]定理1,n+1(;s)=Q(n;s)n(;K(n;s))=Q(n;s)Q(n-1;

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