2019年全国Ⅰ卷文科导数压轴题解法分析

作者:王法岩;李欣瑶 刊名:福建中学数学 上传者:杨新跃

【摘要】2019年高考已经落下帷幕;关于高考数学的讨论仍然是热点之一;大家都说本次数学考得很难;但是;事实上就导数而言;仍然是一道常规题目;是关于不等式恒成立问题;笔者就此进行分析;得到一般的解决恒成立问题的方法.

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2020 年第 3 期 福建中学数学 1 2019 年全国 I卷文科导数压轴题解法分析 王法岩 李欣瑶 安徽省阜阳市第三中学(236000) 2019 年高考已经落下帷幕,关于高考数学的讨论仍然是热点之一,大家都说本次数学考得很难,但是,事实上就导数而言,仍然是一道常规题目,是关于不等式恒成立问题,笔者就此进行分析,得到一般的解决恒成立问题的方法. 1 试题再现 已知函数 ( ) 2sin cosf x x x x x=−−, ()fx′ 为 ()fx 的导数. (1)证明 ()fx′ 在区间(0 π), 存在唯一零点, (2)当 [0 π]x∈ , 时, ()f x ax≥ ,求 a的取值范围. 此题与平时模拟考试中见到的问题略有不同,首先,平时常见的导数题都在 21 题出现,而今年出现在了 20 题,这是题序上的变化;其次,平时常见的函数模型都是指对数模型,今年考题以三角函数为模型.但是就问题问法来说,还是常见的考点.首先第(1)问的零点个数问题,不含参数,属于比较容易的题型,本文不再赘述,下面就第(2)问的方法进行解析. 2 解法探究 方法 1 分参法 由题意有2sin cosx x x x ax− − ≥ , 当 0x = 时,有00≥ ,所以此时a∈R , 当 (0 π]x∈ , ,有 2sin cosx x x x a x −− ≤ . 令 2sin cos() x x x xgx x −− = 2sin cos 1 x x x = − −, 则 2 2 sin 2 cos 2sin() x x x x xgx x +− ′ = . 令 2 ( ) sin 2 cos 2sinh x x x x x x=+−, 则 2 ( ) 2 sin cos 2cos 2 sin 2cosh x x x x x x x x x′ = + + − − 2cosxx= . 令 ( ) 0hx′ > ,得 π 0 2 x<<; 令 ( ) 0hx′ < ,得 π π 2 x<<, 所以 ()hx在 π (0 ) 2 , 上单调递增, 在 π( π) 2 , 上单调递减. 又 (0) 0h = , 2π π ( ) 2 0 24 h = − >, (π)2π 0h = − <, 由零点存在定理得 0 π( π) 2 x∃∈, 使得 0()hx 0= . 因此由 ( ) 0hx> ,得 0 0 xx<< ; 由 ( ) 0hx< ,得 0 πxx<<, 因此 ()gx在 0 (0 )x, 上单调递增, 在 0 ( π)x , 上单调递减. 又因为 (π)0g = , 而 00 2sin lim ( ) lim 2 0 xx xgx x→→ = − =, 因此有 0a ≤ . 注 上述解法在分离参数的过程中,用到了隐零点问题以及在x趋近于 0 时的函数值,此方法需要用到洛必达法则,部分学生可能不会使用.下面来看一般的分类讨论的办法如何求解. 方法 2 分类讨论法 要使 ()f x ax≥ ,只需 ( ) 0f x ax−≥, 因此令 ( ) 2sin cosg x x x x x ax= − − − , 则有 ( ) 2cos cos sin 1g x x x x x a′ = − + − − cos sin 1x x x a= + − − . 令 ( ) cos sin 1h x x x x a= + − − , 则 ( ) sin sin cos cosh x x x x x x x′ = − + + = , 由 ( ) 0hx′ > ,得 π 0 2

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