对数凸函数的积分型Jensen不等式及其应用

作者:宋振云 刊名:衡阳师范学院学报 上传者:张冬梅

【摘要】建立了对数凸函数的积分型Jensen不等式及其加权推广形式,举例证明了函数的算术、几何、调和平均值不等式。

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第 32 卷第 3 期2 0 1 1 年 6 月 衡阳师范学院学报 Journal of Hengyang Normal University No. 3Vol. 32 June . 2 0 1 1 对数凸函数的积分型 Jensen 不等式及其应用 宋振云 (湖北职业技术学院 信息技术学院 , 湖北 孝感   432000) 摘  要 : 建立了对数凸函数的积分型 Jensen 不等式及其加权推广形式 , 举例证明了函数的算术、几何、调和平均值不等式。 关键词 : 对数凸函数 ; 离散型 Jensen 不等式 ; 积分型 Jensen 不等式 中图分类号 : O17811 文献标志码 : A 文章编号 : 167320313(2011)030021203 引言 关于对数凸函数 ,一个备受关注的重要性质是如下结果[1] : 设 f ( x) 是定义在区间 I 上的对数凸函数 ,若xi ∈I ,Πti ∈[0 ,1](i = 1 ,2 , ⋯, n) ,且 ∑ n i =1 = 1 , 则 f ∑ n i =1 ti x i ≤ ∏ n i =1 ( f ( xi) ) ti , (1)   特别地 ,当 t1 = t2 = ⋯= tn = 1 n 时 , (1) 式即为 f 1 n ∑ n i =1 xi ≤ n ∏ n i =1 f ( xi) , (2) 若 f ( x) 是区间 I 上的对数凹函数 ,则不等式(1) 、(2) 中的不等号反向。 通常称不等式(1) 为对数凸函数的离散型 Jensen 不等式 ,简称为 Jensen 型不等式 ,不等式(2) 显然是不等式(1) 的特殊情形 ,也称为Jensen 型不等式。对于对数凸函数的研究 ,已取得了一些成果(见文献[228 ]) 。 本文是在先期研究成果的基础上 ,给出对数凸函数的 Jensen 型不等式的连续形式 ,即对数凸函数的积分型 Jensen 不等式。主要结果如下 : 定理 1  (积分型Jensen 不等式) 设φ( t) 是定义在[ a, b]上的连续函数 , f ( x) 是φ([ a, b]) 上的可微对数凸函数 ,则 f 1 b - a∫ b a φ( x) dx ≤exp 1 b - a∫ b a ln f (φ( x) ) dx , (3) 若 f ( x) 是φ([ a, b]) 上的可微对数凹函数 ,则不等式(3) 中的不等号反向。定理 2  (积分型 Jensen 不等式的加权形式) 设 φ( t) 和ψ( t) 是定义在 [ a, b]上的连续函数 , 且 ∫ b a ψ(t) dt > 0 , f ( x) 是φ([ a, b]) 上的可微对数凸函数 ,则 收稿日期 :20110402 基金项目 :湖北省教育科学“十一五”规划项目(2010B296) 作者简介 :宋振云(19582) ,男 ,湖北孝感人 ,副教授 ,研究方向 :高等数学教学及凸分析. 22   衡阳师范学院学报 2011 年第 32 卷 f ∫ b a ψ( x)φ( x) dx ∫ b a ψ( x) dx ≤exp ∫ b a ψ( x) ln f (φ( x) ) dx ∫ b a ψ( x) dx , (4) 若 f ( x) 是φ([ a, b]) 上的可微对数凹函数 ,则不等式(4) 中的不等号反向。  预备知识 定义[2]  设 f ( x) 是定义在区间 I 上的正值函数 ,若 lnf ( x) 在 I 上是凸函数 ,则称 f ( x) 是 I 上的对数凸函数 ,也就是 :对

参考文献

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