随机环境中两性分枝过程的马氏性与灭绝

作者:李应求;胡杨利;张影 刊名:应用数学学报 上传者:包晋

【摘要】证明了随机环境中的两性分枝过程是随机环境中马氏链,得到了概率母函数的一些关系,并利用这些关系,针对各种不同的具体的配对函数,给出了过程必然灭绝的一些充分条件.

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1己!吉占J二二J为了更精确地描述某些生物、物理化学中的人口模型,【l]首次引入了两性分枝过程,并得到了众多概率论学者的广泛关注和深入地研究,详见【1一71及其后的参考文献.作为Galton-watson过程的推广,ls]提出了后代分布随环境变化的随机环境中分枝过程,得到了一系列研究成果,详见!9一12}及其后的参考文献.作为两性分枝过程和随机环境中分枝过程的自然推广,[s]讨论了带上可加配对函数的随机环境中两性分枝过程灭绝的充分条件,得到了一系列有趣的结果.本文在[s]的基础上,讨论了一些新的间题,如本文的第二部分证明了随机环境中的两性分枝过程是随机环境中马氏链,并在3期李应求,胡杨利,张影:随机环境中两性分枝过程的马氏性与灭绝491第三部分给出了概率母函数的一些关系;对过程灭绝性的讨论,本文第四部分针对各种不同的具体的配对函数,给出了过程必然灭绝的一些新的充分条件.设价,下,尸)是一个概率空间,(e,习是一个可测空间,N+二{o,l,2,…,侧,)是定义在衅上的取值于N+的二元函数,且对每个自变量都是非减的,子一{‘}伦。和{(凡,Mn)}。:1是(几,下,p)上的分别取值于(e,艺)和衅的随机序列,{(几、,二。*)、:l凡:。是定义在(几,下,尸)上的取值于衅上的一簇随机序列.对任意给定的0oe,假定{马(0)}是一概率分布列.定义1.1若{几}论。满足Z几(i)Z0=l,(凡+1,低+l)=E云=l(11)P(人‘+。。‘=j}石)=马(氛)(人‘,饥。小几+l=L(Fn+lj人+1),n=0,l,2,…,n,j任N+,乞=1,2,…;?ni=1lfl倒(111)尸(人‘=j。‘,二。‘二、。,,o三n三l,l丛‘三。l易=P(人‘=J。,,m。‘=株‘}易,痴,概‘任N+,0三n三l,1三‘三二,m=1,2,…,‘=0,1,…,且在给定环境了的条件下,第n代的每一个配对单元生成的下一代个体是雌性的概率都是a(石。),则称{瓜}。:0是随机环境了中两性分枝过程.在定义1.1中,人‘和m。‘分别表示第。代的第葱个配对单元生成的雌性和雄性后代的个数;凡+1和风+1分别表示第。代的所有配对生成的后代中雌性和雄性的个数,并由配对函数侧,)形成第n+1代的瓦+1个配对.记凡(易=a{ZO,21,…,几,易,n=0,1,2,…假定对任意的x,。。N+,侧x,功与凡(易独立.为避免平凡性,总假设对任意的0。。,有0转。(,).因此,由SuP乓。若。6e<‘可得。;。(‘):‘,而由关。(‘):‘得不到sup飞。<1.同理可知定石。9理4.5和定理4.6的条件也比[a]中定理3.3的条件要弱.若配对函数为侧x,刃=min{x,d好,d是一正整数,多与d个雌性个体构成一个配对单元.若该物种是狮子,则d二1.定理4.5设L(x,,)=min{x,d万},d是一正整数,a偷))沪舀。(1)J}‘1,那么、=1证由L的定义,我们有可理解为每个雄性个体可以至则d是很大的;对大多数人,min{E!a(如)沪若。(1)1,dE【(l-尸(zn+1三州氛,易全尸(凡十l三州几,豹,(4.3)侧、氏+‘}几,豹1一8一艺艺侧瓜十,一J}几,易护十’J=om=0。‘k一艺艺侧几十,一,,zn,蔚、“一艺艺到几十,一j!几,豹、“J=ok=j无=oj二0OC二、,p(凡,<划兄角。k一匕山上、LJ几+l之九,‘几,‘j。无=03期李应求,胡杨利,张影:随机环境中两性分枝过程的马氏性与灭绝于是由式(’.3)、推论3.3(ii)和命题3.1,对任意。<,<1,上式左边:E尸(凡

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