关于s-预不变凸函数的Hadamard型不等式

作者:李觉友 刊名:重庆师范大学学报(自然科学版) 上传者:李秀福

【摘要】本文得到了关于s-预不变凸函数的3个Hadamard型不等式。首先通过推广s-凸函数的概念,定义了一类广义凸函数—s-预不变凸函数。同时使用推导s-凸函数的Hadamard不等式的类似方法,给出了s-预不变凸函数的Hadamard型不等式,即设K=[a,a+η(b,a)][0,∞)关于η为不变凸集,f:K→[0,∞)在K上为s-预不变凸函数,a,b∈K,a

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2010 年 7 月 重庆师范大学学报( 自然科学版) Jul. 2010 第 27 卷 第 4 期 Journal of Chongqing Normal University( Natural Science) Vol. 27 No. 4 运筹学与控制论 DOI:10. 3969/J. ISSN. 1672-6693. 2010. 04. 002 关于 s-预不变凸函数的 Hadamard 型不等式* 李 觉 友 ( 重庆师范大学 数学学院,重庆 400047) 摘要: 本文得到了关于 s-预不变凸函数的3 个 Hadamard 型不等式。首先通过推广 s-凸函数的概念,定义了一类广义凸函数 —s-预不变凸函数。同时使用推导 s-凸函数的 Hadamard 不等式的类似方法,给出了 s-预不变凸函数的 Hadamard 型不等式,即设 K = [a,a + η( b,a) ] [0,∞) 关于 η 为不变凸集,f: K→[0,∞) 在 K 上为 s-预不变凸函 数,a,b ∈ K ,a < a + η( b,a) ,则有2s-1f 2a + η( b,a)( ) 2 ≤ 1 η( b,a) ∫ a+η( b,a) a f( x) dx ≤ f( a) + f( b) s + 1 ,其中上式第一个不 等式中的 η 满足条件 C:η( y,y + λη( x,y) ) = - λη( x,y) ; η( x,y + λη( x,y) ) = (1 - λ) η( x,y) ,x,y∈R,λ∈[0,1]。最 后还得到了有关两个 s-预不变凸函数乘积形式的 Hadamard 型不等式。 关键词: s-凸函数; s-预不变凸函数; Hadamard 型不等式 中图分类号: O174. 13 文献标识码: A 文章编号:1672-6693( 2010) 04-0005-04 1 预备知识 在不等式理论研究中,凸函数所发挥的作用是不可替代的。1893 年,Hadamard 发表了他的关于凸函数的著名不等式: 设 f( x) 是[a,b]上的凸函数,则有 f a + b( ) 2 ≤ 1 b - a∫ b a f( x) dx ≤ f( a) + f( b) 2 ( 1) 近年来,不少学者给出了( 1) 式的各种改进和推广[1-3],同时提出了各种类型的凸函数,也给出了其它类型凸函数的 Hadamard 型不等式[4-6]。Weir 和 Mond 引入了不变凸集和预不变凸函数[7],它是一类重要的广义凸函数。杨新民等研究了预不变凸函数的各种重要性质及其在最优化中的应用[8-9]。最近,Noor 给出了预不变凸函数和对数 -预不变凸函数的Hadamard 型不等式[10],即设 f: K = [a,a + η( b,a) ]→( 0,∞) 在 K ( K 的内部) 上为预不变凸函数,a,b ∈ K ,a < a + η( b,a) ,则有 f 2a + η( b,a)( ) 2 ≤ 1 η( b,a) ∫ a+η( b,a) a f( x) dx ≤ f( a) + f( b) 2 ( 2) 文献[11]定义了 r-预不变凸函数的概念,并得到了 r-预不变凸函数的 Hadamard 型不等式。 本文受到文献[6,10]的启发,定义了一类 s-预不变凸函数,并给出相应的 Hadamard 型不等式,还得到了有关两个 s-预不变凸函数乘积形式的 Hadamard 型不等式。本文的定理1—3 推广了文献[5-6,10]中相应的结果。 2 相关定义 定义

参考文献

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