随机环境中具有随机控制函数的受控分枝过程

作者:王洁;胡杨利;汪和松 刊名:数学理论与应用 上传者:李维

【摘要】对随机环境中具有随机控制函数的受控分枝过程进行了更为详尽的概率描述和直观解释;证明了此过程是时齐马氏链和随机环境中的马氏链,并对其概率母函数及矩量进行了讨论。

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1引言分枝过程是随机过程研究中活跃而富有成果的分支之一,它是描述种群发展演化的数学模型,经典分枝过程的基本假定是每个个体按照相同的概率分布彼此独立进行繁衍,而在实际问题中,个体间繁衍后代要受到多种因素的影响,由此引入了各类分枝模型,如文献[12]提出的受控分枝过程理论,更加充实了现代分枝过程理论。作为受控分枝过程模型(见文献[1])和随机环境中分枝过程(见文献[2,9,10])的推广,文献[13]建立了随机环境中的分枝过程模型,讨论了独立同分布环境下的分枝过程的灭绝概率准则,指出在独立同分布环境下,过程仍然是一马氏链,但未给出详细证明,本文第2部分对其进行了证明,并结合随机环境中马氏链定义进一步证明了分枝过程亦是一般随机环境中的马氏链,第3部分探讨了与过程相关的概率母函数及矩量。设N={0,1,…},N={1,2,…},(J,P)为概率空间,(,B)为可测空间,(X,Z)为状态空间,其中X=N,而Z是X的离散域,={n:nN}是(J,P)上取值于(,B)的随机变量序列,{n(k):n,kN}是定义在X上的一族随机函数,且{n(k):n,kN}关于nN独立同分布,具有一维概率分布P(n(k)=i)=Pk(i),k,iN。定义1设{Zn:nN}是(J,P)上取值于(X,Z)的随机变量序列,{Xnj:n,jN}是定义在X上的一族随机变量序列,且满足:(i)Z0=1,Zn+1=n(Zn)j=1Xnj,nN(1.1)(ii)P(Xnj=r|)=Pr(n),rX,nN,jN+(1.2)(iii)P(Xnj=rnj,1jl,0nm|)=mn=0lj=1P(Xnj=rnj|)rnjX,1jl,0nm,mN,lN+(1.3)(iv){n(k):n,kN}与{Xnj:nN;jN+}条件独立(14)则称{Zn:nN}是随机环境中受控分枝过程(简记为CBPRE)。模型中,对nN,jN+,Xnj表示在环境中第n代的第j个粒子产生的后代数,Zn+1表示第n+1代的粒子总数,函数n()在第n代粒子产生后代的过程中实施控制,即若n(k)=i,则说明当第n代的粒子数为k时,参与繁衍后代的粒子数为i,并且在下面的讨论中我们恒设{n(k):n,kN}与随机变量序列独立。2马氏性定理1设={n:nN}独立,则{Zn:nN}是时齐马氏链,其一步转移概率为P(Zn+1=j|Zn=i)=E[k=0r1+…+rk=jr1,r2,…,rk0kl=1pr1(n)Pi(k)],nN。证明首先证明:对任意的i,j,i1,i2,…,in-1XP(Zn+1=j|Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i)=P(Zn-1=j|Zn=i)(2.1)事实上,由{Zn}n=0的定义可知式(21)左边等于P(Zn+1=j,Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i)P(Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i)=E[P(n(i)l=1Xnl=j|)P(Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i|)]P(Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i)而P(n(i)l=1Xnl=j|)=k=0r1+…+rk=jr1,r2,…,rk0kl=1pr1(n)Pi(k)(2.2)只与i、j和n有关。可记P(n;i,j)=k=0r1+…+rk=jr1,r2,…,rk0kl=1pr1(n)Pi(k)(2.3)又P(Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i|)只与0,1,…,n-1有关,由于独立,所以式(21)左边等于E[P(n;i,j)]E[P(Z0=1,…,Zn-1=in-1,Zn=i|)]P(Z0=1,…,Zn-1=in-1

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