一类投资时点问题的最优停止模型及其等待时间

作者:黄薇;张宗益 刊名:系统科学与数学 上传者:孙琪

【摘要】针对收益流与一次性投入沉淀成本均不确定的一类风险项目,为使其预期总的贴现净收益最大,提出了寻找项目最优投资时点的最优停止模型.这种方法不依赖于金融市场的完备性及市场无套利.借助于高切原理,通过求解一个自由边界问题,得到模型的候选解.运用最优停止理论证明了其的确为最优解,从而显式地给出了该类风险项目的最优投资时点.进一步,显式给出了到达最优时点的平均等待时间.

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1引官未来的不确定性给项目投资带来巨大的风险.Medonald等人川提出如果项目价值v的变化服从由一标准维纳过程驱动的随机微分方程,一次性投人沉淀成本C是一常数,则利用现有信息估计的价值V必须充分大,才能进行项目投资.因此往往需要等待.文献{l]的讨论是在完备金融市场的假设下得到的,而且沉淀成本是确定的.近年来,最优停止理论的研究取得了丰硕的成果[“一7],它的应用已经深入到数理金融领域18一‘2].文【12在风险项目的一次性投入沉淀成本确定下,研究了确定其最优投资时点的最优停止模型.本文在理论和应用上对此进行了更符合实际的重要的推广研究.假定项目各期的收益流是不确定的,项目的一次性投入沉淀成本也是不确定的.针对此类风险项目,提出确定其最优投资时点的最优停止模型,此模型及求解不依赖于金融市场的完备性及市场无套利,优于文献{1,13}.进一步,本文还研究了到达最优投资时点的平均等待时间,目前几乎没有文献涉及.2问题的最优停止模型描述考虑不确定环境下一风险项目,其收益流和沉淀成本均为随机不可控的,其中收益流只服从如下的随机微分方程d只=。只dt+口只d及,P0=p>0,(2.1)其成本为在投资时刻一次性投入的沉淀成本q,q也是不确定的,服从另一随机微分方程dCt=拼Qdt+。qdB。,C0=C>0,(2.2)其中,B:为一维标准Brown运动,a,口,户,。均为正常数.上述两方程中的参数可用类似于股价方程的参数估计方法进行估计,如通过大量类似项目的投入成本及收益流估计出来.显然,在不同的时刻投资,其预期贴现净收益是不同的.而且由于投资是不可逆的,因此,最优投资时点的选择就显得尤为重要.投资者要在所有可能的停时二中选择最优的一个尹,使从长远观点来看投资的预期贴现净收益最大.模型描述为:求一个最优停时尹,使得G*(s,p,e)=sup召(8,p,c)[丈一‘一,Pt“一C一‘’‘了,一:‘一,{厂一‘一,Pt“一C一‘‘了”(2.3)对一切吕全0以及p,c任R十,其中只和q分别为前述的收益流及沉淀成本,p为贴现因子,p>max(a,川为常数.3模型的求解及最优投资时点不失一般性,假定。尹尽由于间题(z.3)非时间齐次,令xt=川”,c)二(s+t,那,研),其中上标分别是强调只从p出发,认从。出发,则dXt=(1,。只,户认)dt+(0,口只,。q)dB。,X0=x=(s,p,e).于是X:为从二=(s,p,e)出发的Ito扩散.令凡‘=凡(‘,p,c)为Xt产生的概率测度,召,=召(8,p,c)为关于R,的期望.对任意,二(亡,石,动R”,定义函数h(梦)二h(t,苟,”)=e一p‘石,f(,)二f(t,石,刀)=一e一p,石,夕(,)三夕(t,七,刀)=一钾一p,.借助于X:,问题(2.3)可化为G(一,,卜G(卜S沙E[厂“(、)d。+。(、)]一沙E[丈一“‘瓜,d‘一关了“(xt)d:+,(、)]一矛[丈一“‘凡,“]+8;pE[关了了(、)d‘+。(、)](3.1)‘11刁呀刁‘甲,,‘一,耳人门呀.“口1百.口.由(2.1)用It。公式知。。rz口2、,.。,1乓=pexp飞戈a一万)‘一户。‘了1‘乙“,又E(那)二那耐,于是对(3.1)右边第一项有:f100,(瓜)d:1一:{fOO。一,(+。)呼d:1一。一,/一。一,‘,。,d‘一些二LJOJLJOJJOP一“(3.2)因而问题(2.a)化为如下的最优停止问题:求最优停时尹使得J.(s,p,e)=J.(x)=sup二[丈r了(、)d!。(、)}一:[丈了‘了(、)d!+。(、)](

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