外场下Koch曲线上Ising模型的临界性质

资源类型:pdf 资源大小:237.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:陈开颖

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【作者】 刘彤  张锋  孔祥木 

【关键词】重整化群变换 Koch曲线 Ising模型 临界性质 

【出版日期】2005-04-15

【摘要】利用重整化群变换的方法,研究了一族Koch曲线上Ising模型的临界性质,求得了系统的临界指数,发现临界指数只与Koch曲线的分形维数有关.这是对相变普适类规律一个很好的验证

【刊名】曲阜师范大学学报(自然科学版)

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1 引  言物理世界中 ,大体上包括 2类实空间上有规律的结构 :具有平移不变性的周期结构和具有标度不变性的自相似结构 .后者是上世纪 70年代由Man delbrotB首先提出的 ,从而开创了一个崭新的研究领域 .他给这类自相似结构命名为分形(fractal) [1,2 ] .在分形世界中 ,最简单的便是Koch曲线 ,如图1所示 ,从一线段开始 ,把它 3等分 ,将其中间一段移去 ,换作 2条线段 ,使 4条线段相等 ,得到结构图形 (b) ,在 (b)中的每一条线再被 (b)本身代替 ,就形成图形 (c) ,这样一直进行下去 ,最后形成的图形 ,称为无分支Koch曲线 .本文讨论这种分形的一类推广 ,其形成过程如图 2所示 ,我们称它为推广的无分支Koch曲线 .另一重要概念是Ising模型 ,它是研究铁磁性的一个简单模型 .在晶格的每个格点位置上 ,都放置一自旋σi,每个自旋只能取向上或向下 2个态 ,并只考虑近邻自旋之间的相互作用 ,这样的自旋模型称为Ising模型 ,其哈密顿量为[3,4 ]H = J 〈i,j〉σiσj- μB Ni=1σi,(1)其中σi 代表第i个格点位置的自旋 ,σi 取值为 + 1或 - 1,分别对应于自旋向上或向下 . 〈i,j〉表示对一切可能的近邻对〈i,j〉求和 ,J为相邻两自旋间的交换积分 .当J >0时 ,代表铁磁体 ,当J <0时 ,代表反铁磁体 ,本文只讨论铁磁情况 .图 1 无分支Koch曲线的构造过程图 2 推广的无分支Koch曲线的构造过程在相变统计力学中 ,分形晶格上的自旋模型已被广泛地研究[5,6 ] .研究这类系统最有效的方法是实空间重整化群方法 .具体实施重整化变换的方法有多种 ,对于我们讨论的Koch曲线 ,这里利用对内部自由度求和的方法 .其基本思想是把一些内部自旋消去 ,使系统的自由度减少 .如果只考虑一个生成元的情况 ,这个过程可一看作是在图 1中 ,将图 1(b)变换到图 1(a) .在重整化群变换下 ,系统的配分函数保持不变[7,8] .2 无分支Koch曲线上的Ising模型我们首先讨论无分支Koch曲线上的Ising模型 ,如图 1所示 .设格点 1,2 ,3,4和 5上的自旋分别为σ1,σ2 ,s1,s2 和s3.我们考虑有外磁场存在的情况 .生成元的有效哈密顿量为 (见图 1(b) )- βH =K(σ1s1+s2 s3+s1s3+s2 σ2 ) +  12 h(σ1+σ2 ) +h(s1+s2 +s3) ,(2 )其中K =J/kBT ,h =H/kBT ,H是外磁场 ,T是系统的热力学温度 ,kB 是玻耳兹曼常数 .进行一步重整化群变换 ,它的有效哈密顿量变为- βH′=K′σ1σ2 + 12 h′(σ1+σ2 ) . (3)变换过程可以用下式表示 ,Aexp[- βH′]= {si}exp[- βH]. (4)显然 ,外场部分可单独讨论 .把 (2 )和 (3)带入 (4)得到Aexp[K′σ1σ2 ]           = {si}exp[K(σ1s1+s1s3+s2 s3+σ2 s2 ],exp[12 h′(σ1+σ2 ) ]          = {si}exp[12 h(σ1+σ1) +h(s1+s2 +s3) ].进一步可得tanhK′=tanh4 K ,(5 )和h′=4h . (6 )由此可求得系统的临界点和临界指数 .由 (5 )和 (6 )式可求得重整化群变换的 2个不动点分别为 (K =0 ,h =0 )和 (K =∞ ,h =0 ) ,其中后者为不稳定不动点 ,即对应于系统的临界点 .把K和h在临界点附近线性化 ,可求得[1,9]λ1=dK′dK =4 ,λ2 =dh′dh =4 . (7)从而得到标度幂p和q分别为p=lnλ1dlnL =ln 4ln 4 =1,(8)q =lnλ2dlnL =ln 4ln 4 =1. (9)由标度理论可以求得系统的临界指数为α=1,β =0 ,γ =1,δ=∞ ,η =2 - ln 3ln 4 ,ν=ln 3ln 4 . (10 )这里临界指数α ,β ,γ ,δ分别描述自发磁化强度、比热、零场磁化率和磁场的临界行为 ,η和ν分别描述关联函数和关联长度在临界点附近的行为 .3 推广的Koch曲线上的Ising模型我们来研究推广的Koch曲线上的Ising模型 ,如图 2 (b)所示 .显然 ,格点的配位数有 2种 :m + 1和 2 ,我们分别把它们上面的磁场记为hm +1和h2 ,经过变换后记为h′m +1和h′2 ,则生成元的有效哈密顿量为- βH =K(σ1s1+σ2 s2 ) +K(s1+s2 ) m+ 2i=3si+   hm+11m + 1σ1+s1+s2 +h212 σ2 + m+ 2i=3si ,(11)变换后为- βH′=K′σ1σ2 + 1m+ 1h′m+1σ1+ 12 h′2 σ2 .(12 )则得到变换前后磁场的关系为h′2h′m +1=m+ 12m(m + 1)2 m + 2h2hm+1,其本征值为λ1=2 (m =1)和λ2 =1(舍去 ) .另一方面 ,自旋相互作用项满足AeK′σ1 σ2 = {si}exp[K(σ1s1+σ2 s2 )        +K(s2 +s2 ) isi) ],(13)从而得到tanhK′ =tanh4 K[(1+tanh2 K) m - (1-tanh2 K) m](1+tanh2 K) m + (1-tanh2 K) m .(14 )由 (14 )式可求得K =∞为不稳定不动点 ,变换的本征值λ3=dK′dK =4 . (15 )因此p =lnλ3dlnL =ln 4ln 2 (m+ 1) ,(16 )q=lnλ1dlnL =1. (17)故系统的临界指数分别为ν=0 .792 5 ,α =2 -νdf,β=0 ,γ =νdf,δ=∞ ,η =2 -df. (18)4 结  论本文利用重整化群变换的方法讨论了一族推广的Koch曲线上的Ising模型临界性质 .由 (18)式 ,我们容易得出如下结论 :临界指数α ,γ ,η随着系统分形维数的变化而变化 ,并且仅与分形维数有关 .这进一步证明了相变普适性规律[10 ] .外场下Koch曲线上Ising模型的临界性质@刘彤$曲阜师范大学物理工程学院!273165,山东省曲阜市;厦门大学物理系,361005,福建省厦门市; @张锋$曲阜师范大学学报编辑部!273165,山东省曲阜市 @孔祥木$曲阜师范大学物理工程学院!273165,山东省曲阜市重整化群变换;;Koch曲线;;Ising模型;;临界性质利用重整化群变换的方法,研究了一族Koch曲线上Ising模型的临界性质,求得了系统的临界指数,发现临界指数只与Koch曲线的分形维数有关.这是对相变普适类规律一个很好的验证[1]杨展如.分形物理学[M].上海:上海科技教育出版社,1996.32~42. [2]汪子丹,龚昌德.凝聚态物理中的分形[J].物理学进展,1990,10(1):1~5. [3]伍法岳,杨展如.相变与临界现象(Ⅱ)—Ising模型[J].物理学进展,1981,1(2):26~28. [4]StanleyHE .重整化群与渗流理论[J].物理学进展,1985,5(1):1~35. [5]刘杰,孔祥木,李永平.Koch曲线上S4模型的临界性质[J].曲阜师范大学学报(自然版),2004,30(1):56~60. [6]李英,孔祥木,黄家寅.外场中Sierpinski镂垫上磁模型的临界性质[J].曲阜师范大学学报(自然版),2002,28(2):54~56. [7]孔祥木,李崧.钻石型等级晶格上Gauss模型的临界性质[J].中国科学.1998,28(12):1129~1134. [8]KONGXiang_mu,LISong.TheGaussianModelontheInhomo geneousFractalLattices[J].CommunTheorPhys,2000,(33):63~68. [9]北京大学物理系量子统计物理学编写组.量子统计物理学[M].北京:北京大学出版社,1987.380~400. [10]PrivmanV ,AharonyA ,HohenbergPC .PhaseTransitionsandCriticalPhenomena[M].NewYork:editedbyDombandLebowitzJL ,1991.曲阜师范大学科研基金资助

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