单摆周期的测量误差与最大摆角的关系

作者:程望 刊名:技术物理教学 上传者:侯俊伟

【摘要】对于单摆的周期,用周期公式算出的理论值T_0与实验测定值T之间的误差,随摆角增大而增大,最大摆角一般应小于5°.为了全面了解单摆周期误差随摆角增大而增大的情况,必须深入探讨周期与最大摆角的关系.

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第 18卷 技 术 物 理 教 学 日>R (1+cosO+1/2cosO), 则 :mgH=myA /2+mgR (1+cosO) > mgR (1+cosO+1/2cos0) j>2gR (1+cosO+1/2cos0) 一2gR (1 +cos0) =gR/eosO 2vA sinOcosO/g>2Rsin0. 这样小球越过 B点而落在圆环外面 (见图3). H<R (1+cosO+1/2cos0),贝0: 2 A2sinOcosO/g <2Rsin0 , 小球将不会到达 点而落在圆 环 里 面 (见 图 3). 因 此 , 要让小球恰能 越过缺 口继续 图3 沿圆环运动 H只有一个值.即: H =R (1+cos0+1/2cos0). 从这两个例子看出,例 1的 日可有一个 范围,日≥5R/2R,例 二的 只有一个值 ,日 = R (1+cosO+1/2cos0)像这样通过对结论 的讨论 ,使得物理图象更清楚了. 单摆 周期 的测量误 差与 最 大摆 角的关 系 程 望 (南京铁道职业技术学院苏州校区 215031) 对于单摆 的周期 ,用周期公式算出的理论 值 % 与实验测定值 之间的误差,随摆角增 大而增大 ,最 大摆角一般应 小于 5。. 为了全 面 了解 单摆周期误差 随摆角增大而增大的情 况 ,必须深人探讨周期与最大摆角的关系. 如图,设单摆 摆球质量为 m,摆 长 为 Z,摆 角 为 . 摆球 由极端位 置 A向平衡位置 0 运动 ,在运动 中的 某一位置处 ,摆角 为 D 根据牛顿第二定律有 : · 34 · 图 1 mz d=O: si一 n ~ . ld20 = 一sin 定律. 取悬 点 0 为重力 势 能 的零 位 置 ,则 my /2 -mglcos0= 一mglcosOo 所以 =± 虑到 = f dO , 而且在 AO阶段 , 增加时 减 小,根号前应取负号 , 所 以 dO= 一 摆球由位置 A运动到位置 0所需时问 一 √舌 周期T=4t=4√ 将 c。s =l一2sin 0 代入上式 4 2 do . sin 引入新变量中,设sin ■ $111 2 : ÷i 导后:i 0,,o_求微咖 “ , 。 “ 2, 傲分得。。。 = 1 c。s 旦d 而 c。s 0= N/1一sin 导= 所 以 dO: ~/1一k sin 西 又~/0o.2 0一= √-一古sin 号 = 后 =kcos6 此 时积分上、下限随着改变 :0=0时, = o; =6)0时, =号 所 4 单 摆 周 期 的 测 量 误 差 与 最 大摆 角 的 关 系 第 4期 这是第一类椭圆积分,查定积分表,在 k <1 条件下: = 卫 r2 l+ (上2) + J o 、 、 ( 1-3) n ( ) 6 ··] 最后求得T=2,rr√l[1+(吉) sin 鲁 + 丽1.3)。sin 00+ ( ) sin oo ·] 这就是振动周期与最大摆角的关系式. 显然 ,P,~ Oo--,o的条件下 ,Jj}=sin O 2 o . 得 T=2,rr 所122,一般情况下 ,单 摆的摆角应尽可能的小 ,不能超过 5。. 振动周期的相对误差为: r-to = ( 1) sin 0o+ (丽1.3 n4 0 2 Lo + ( ) s Oo · 周期 相 对 误 善 随 最 大 樱 角 蛮 化 的 情 况 可 列 表如下 : 摆角 (度 ) 误差 (%) 摆 角 (度 ) 误差 (% ) l O. 0o2 16 O. 490 2 O. 0o8 20

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