涉及三角形内角平分线的欧拉不等式的加强

作者:方细贤 刊名:福建中学数学 上传者:陈培丰

【摘要】设?ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有不等式R≥2r,此即欧拉不等式.文[1]中安老师提出欧拉不等式的一个改进形式R/2r≥a^2+b^2+c^2/ab+bc+ca.文[2]中则给出类似于上述不等式且涉及三角形高与中线的欧拉不等式的加强,结论如下:

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24 福建中学数学 2017年第5期 涉及三角形内角平分线的欧拉不等式的加强 方细贤 福建省漳州市实验中学 (363000) 设 AABC的三边为 a,b,C,外接圆和 内切圆半径 分别为 ,r,则有不等式 R 2r,此即欧拉不等 式.文[1]中安老师提出欧拉不等式的一个改进形式 . 文[2]中则给出类似于上述不等式 且涉及三角形高与中线的欧拉不等式的加强,结论 如下 : 结论 I设 c三边a,b,c上的高分别为Jlz , , hc,外接圆和内切圆半径分别为 R,r,则 ≥ +嘭+ + + 结论 2设 AABC三边 a,b,c上的中线分别为 m ,mb, 。,外接 圆和 内切圆半径分别为 R,r,则 ≥ 杰± ±生 . 口 6+ 6 c + c 口 本文建立类似于上面三个不等式且涉及三角形 内角平分线 的欧拉不等式的加强 . 结论 3设A,~BC三边长为 a,b,C, , , 为 AABC的内角平分线,外接圆和内切圆半径分别为 ,,,则 ≥— 生 . , 十 十 结论 3的证明需要如下引理 . 引理f ,W^,wc为 Bc的内角平分线 ,s,S分 别为半周长与面积 ,则 + + ≤ , + wc +WcWa≥3√ . 结论 3证明 由引理只需证明 , 又 S= r, 故只需证明 _343R , 由于 s 4R +4Rr+3r (Gerrestsen不等式), 则只需证明4(4R +4Rr+3r ) 27R , 等价于证明(11R+6r)(R一2r)≥0, 此为显然,故结论 3成立 . 参考文献 [1】安振平.外森比克不等式的再探究[J].中学数学教学,2015(2):61—62 [2]宿晓阳.涉及三角形高与中线的欧拉不等式的加强[J].中学数学教学 , 2016 (3) :52 [3]何灯 ,田芳松 .欧拉不等式的一个加强猜想的验证[J].福建中学数学 , 2016 (6) :9 [4]匡继昌.常用不等式 (第 4版)[M].济南 :山东科学技术出版社 ,2010 基于数学核心素养下自然生成的公式教学研究 — — 以“两角差余弦公式”教学设计为例 陈景文 杜成北 福建省泉州市第七中学 (362000) 数学公式教学是数学教学中重要的一个环节 , 它 以公 式 为教 学载体 ,教 学 中注重 公式 生成运 用.在数学教学实践过程中,我们发现当下很多教 师不注重公式的生成性教学 ,不以公式教学为载体 培养学生的核心素养 ,公式教学停留在浅层 ,无法 使公式来源 自然、流畅,学生不知道公式来龙去脉, 只是强记盲用 ,不得其本质 . 那么,该如何才能使公式教学自然、合理,从 而促进学生发现 问题、分析 问题、解决问题能力的 提升 呢?本文着重 以培养 学生数学学科核 心素养 为视角,探究数学崭新的公式教学模式 ,让教学更 加合理、自然、顺畅. 1核心素养下的自然生成公式教学界定 核心素养下 的 自然生成公式教 学是指在高 中 数学公式的教学中,以数学核心素养为引领 ,通过 实践-认识-论证一运用等环节,运用问题串引领思 维,促成学生对公式及论证公式方法的自然生成 , 熟知公式的结构特征,巧妙记忆公式,灵活应用公

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