2017年浙江高考数学卷压轴题解法探析

作者:林如杰 刊名:数学通讯:学生阅读 上传者:白爽

【摘要】古人讲:“以铜为镜,可以正衣冠;以史为镜,可以知兴衰;以人为镜,可以知得失.”分析每一年的高考数学试题,反思三年以来的教学尤其是高考复习策略的得与失,

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· 辅教导 学 · 数学通讯 一一2Ol7年第 l0期(上半月 ) 1 圆圈围圈 2017年浙江高考数学卷压轴题解法探析 古人讲 :“以铜为镜 ,可 以正衣 冠;以史为镜 , 可 以知兴 衰 ;以人 为镜 ,可 以知 得失 .”分 析 每 一年 的 高考数 学 试 题 ,反 思 三 年 以 来 的 教 学 尤 其 是 高 考复习策略的得与失 ,备战下一 轮的高考复 习与 数学 教学 ,无论 对学 生还 是 教 师 ,都 是 一 件 非 常 重 要 的事情 . 今年 是 浙 江省实 行 新高 考 (文理 合卷 )的第 一 年,数学试题 的总体难 度 比往年有所 降低.其 中, 选择题 、填空题的难度明显降低 ,而解答题中的立 体 几 何 、函数 导数 、解 析 几 何 问题 均 有 一 定难 度 与 较大的区分度 ,而作为压轴题的数列、不等式综合 题的难度 比较大 ,全省平均分约为 2.42分 ,大部分 学生 对其 无 从 下 手 或 难 以深 入.下 面 就 这 个 压轴 题的解法进行一番探索和分析. 题 目 22 已知 数 列 { }满 足 :o/" =:=1, 一 ¨ +ln(1-t— )( ∈ N ).证明:当 ”∈N 时 , (工)0< 1< , ; (II)2x计1~ ≤ ; 厶 1 1 (Ⅲ) ≤ ≤ . 厶 ‘一 这是一道综合 了数 学 归纳法 、反 证法 、构造 法 、分析 法 、放 缩 法 、函数 思 想 、类 比思 想 、转 化 思 想 的具 有 相 当难 度 的 综 合 题 ,具 有 一 定 的 函 数 背 景 ,主要考查学生对数列 、不等式 、函数 的综合应 用 能 力. 一 、 第(I)小题的解析 本小 题 的关 键是 证 明 > 0,大 部 分 考 生 对 此难 以下 手 ,根 本 就 没 有 想 到 可 以 用 反 证 法 来 证 明.事实上,如果解决 了 > 0,再利用作差来 比 较 5C .,. 的大 小 ,就 自然合 理 了. 思路 1 先 利用 数学 归纳 法来 证 明 > 0. (1)当 ===1时 , l一 1> 0成 立 ; (2)假 设 ”一 是( ≥ 2)时 , ’ > 0成 立 ,那 么 , 当 72一 是+ l时 ,若 抖1≤ 0,则 一 抖1+ ln(1+ } 1)≤ 0,与 > 0矛盾 ,所 以 . 1> 0,即 一 k 林如杰 (浙江省玉环市玉城 中学 ,317600) + 1时成 立. 由(1)、(2)知 > 0成 立. 所 以 一 卅1+ ln(1+ )> ,即 0< H <: 思 路 2 用 反证 法来 证 明 > 0.若 X 1≤ 0, 则 一 .27 l+ ln(1+ 1)≤ ,所 以 zl≤ z2 ≤ 。≤ ⋯ ≤ z川 ≤ 0,这与 一 1> 0矛盾 ,所 以 l> 0. 所 以 ::: 井1+ ln(1+ z井1)> z计1,即 0< ’ + l < 评 注 l 上 述 思路 l与 思路 2实 际上 同 出一 辙 ,都运 用 了反证 法 思想 ,思路 相对 比较 自然 . 思 路 3 由 一 1+ ln(1+ }1)可 知 :当 1> 0时 , > 0;当 }1< 0时 , < 0.所 以 , 与 z..¨ 同号 . 又 1一 l> 0,所 以 > 0, 】> 0. 所 以 一 , l+ ln(1+ 1)> ,即 0< _’ 1< 5C, . 思 路 4 由思路 3可知 ,z 与 州 同号 .又 = 1> 0,所 以 , > 0, > 0. 由 - 一 + In(1+ 计1

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