2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题解法探析

作者:王佩[1,2];赵思林[2] 刊名:中学数学杂志:高中版 上传者:孙雷

【摘要】1试题呈现与简评2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题:在直角坐标系x Oy中,曲线y=x^2+mx-2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

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: 兰 中学数学杂志2017年第9期 20 1 7年高考数学全国卷Ⅲ文科第 2O题解法探析 四川师范大学数学与软件科学学院 内江师范学院数学与信息科学学院 1 试题呈现与简评 2017~f"-i岛考数学全国卷 Ⅲ文科第 2O题: fI_f角坐标系xO)一中,『}I线Y= +m 一2与 轴交1 ,4、B两点,点 C的坐标为(0,1).当m变化时, 解答 列问题: (j) lt~i l fI现 4C上BC的情况?说明理由; (2)证明过 、B、C j点的圆在Y轴上截得的弦 K为定ftlIi. 简评 此题主要:考查并涉及的知识点有:方程 的根 j 数零点、韦达定理、平面向量的数量积、两 点问距离公式 、勾股定理、直径所对的圆周角等 j: 90。、 角j角形斜边上的中线等于斜边的一半 、圆 的标准方程、网的一般方程、中垂线方程、相交弦定 理等.以 i 知识点,单个零散的看,对于学生而言都 不难学 ,并EL此题相对难度并不是很大.但是根据 卷情况,旧JiI省文科数学平均分是 56.86分 而此 题平均得分大约只有2分左有,这值得深思.究其原 I.i_:1,呵能记 学生在抽象的符号语言、直观的图形语 、 一 化的代数语言和普通的自然语言间的相互表 与 互化l】 现障碍.下面拟从思路与解法探 究方 埘此题作一番研究,以期为中学老师在平日 解题教学巾,提供多角度、多立场的变式教学素材, 培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性等 2 解题思路的分析与探究 2.I 第(t)问的思路分析与探究 分析与探究 1 判断能否出现 AC上BC的情 况,可以芘假设能 现AC上BC的情况.然后经过正 确的推卵.营能得“1矛盾(可以是与已知条件矛盾, 或与fl52设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等), 说明似设小成 . 线 y= +, 一2 轴交于A B两点 等价 于方稗 }171X一2=0有实根,设点 4,目的坐标为 A( ,0),曰( ,,0),贝0 ,, ,是方程 +/T/, 一2=0的 610068 王 佩 641112 赵思林 王 佩 两根,由韦达定理,得 + =一m, · ,=一2. 假设已知AC上BC,即已知k ·k =一1,根据 1 1 1 斜率公式,得 k c=一 , G=一 ,由k4c· c=一 I X,2 IX2 =一1,得 。· =一1.而通过分析已知条件,得X,· , i 一 2.因此假设与已知条件矛盾,故不能出现 AC J_ BC的情况,理由如上. 评注 反正法常常是解决某些“疑难”问题的 有力工具.英国数学家哈代 曾经这样称赞它:“反 证法是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时 牺牲 一子以取得优势的让棋法 它还要高明。象棋埘 弃者不过是牺牲一卒或顶多⋯·子.数学家索性把全 局拱手让予对方!” 分析与探究 2 向量的数量积是否为零,是判 断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之 一 判断能否出现 上BC的情况,只需判grad·日c 是否等于零即可. 一 — — ' 一 ’ 由AC=(一 ,,1),BC=(一 ,1), 字AC上BC, 从而‘4C·BC= .· ,+1=0,由已知 · ,=一2, 故A6·BC=一1≠0,所以不能出现 4C上BC的情 况,理由如上. 评注 向量是解决几何问题的有力 具.向量 概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股 定理等就可以转化为向量的加(减)法、数乘向量、

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