2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析

作者:臧茉白[1] 刊名:高中生学习 上传者:黄修仿

【摘要】平面解析几何一直是高考真题卷中拉开差距的提分题,得分率普遍偏低,透露出来的信息一方面是高考平面解析几何试题本身需要具备较强的逻辑分析能力,以及问题转化能力和一点创新能力,平面解析几何试题对知识的理解运用要求高,尤其面临在高考考场上的高压态势,需要具备以上这些能力同时平稳的发挥出来,需要考生在平时将平面几何题熟练掌握,方能举一反三。而2017年高考数学真题全国卷1理科20题又再次做了一个很好的示范作用,通过对这道题进行一定的分析,以期对平面几何的类型题有更好的理解和掌握。

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高考指南GAOKAOZHINAN 平面解析几何一直是高考真题卷中拉开差距的提分 题,得分率普遍偏低,透露出来的信息一方面是高考平面 解析几何试题本身需要具备较强的逻辑分析能力,以及 问题转化能力和一点创新能力,平面解析几何试题对知 识的理解运用要求高,尤其面临在高考考场上的高压态 势,需要具备以上这些能力同时平稳的发挥出来,需要考 生在平时将平面几何题熟练掌握,方能举一反三。而 2017年高考数学真题全国卷1理科20题又再次做了一个 很好的示范作用,通过对这道题进行一定的分析,以期对 平面几何的类型题有更好的理解和掌握。 一、题目分析 2017年高考数学真题全国卷1理科20题作为压轴出 场,具有至关重要的地位,在题目和题型的设计上保持着 一贯的作风,能够将学生的成绩在整体上拉开差距。对 于基础掌握牢靠的学生来讲,是必须要掌握的一道题 型。首先从题目上进行简要的分析,已知椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(- 1, 3 2 ),P4(1, 3 2 )中恰有三点在椭圆C上。 (1)求C的方程。 考察方向:椭圆的基本方程。主要利用的就是椭圆 对称的特性,可知P3(-1, 32 ),P4(1, 3 2 )此两点一定是 沿 y对称轴对称分布,并且这椭圆C一定同时经过这两 点。而且,又因P4(1, 32 )一定在椭圆C上,那么P1(1,1) 由于与P4(1, 32 )X轴一致,y轴上不一致,根据常理椭圆 只可经过其中一点。因此,P1(1,1)一定不在椭圆C上,该 椭圆C具体如下图所示。具体的方程求解过程较为简单 和常规,可根据P3(-1, 32 ),P4(1, 3 2 )套用常规掌握的 椭圆基本方程。可知:b=1,a=2。 x yP3(-1, 32 ) P4(1, 32 )(0,1) o (2)设直线 l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若 直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。 考察方向:直线与圆锥曲线的位置关系。几何证 明类题目,需要将抽象的平面几何问题转化为常规型 代数问题,要么是通过方程转化、要么是通过定位坐 标、要么是通过补等关系,而这道题很明显是通过坐标 的方式,转化为代数问题的,这是核心的解题思路。利 用题目中若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为-1,以及 设出直线 l的斜率公式来解题。通过几何本身的问题 来优化题目。 二、解题思路分析与解题步骤 (1)求C的方程。 解题思路: 由于P3,P4两点关于 y轴对称,故由题设知C经过P3, P4两点,又由 1 a2 + 1 b2 > 1 a2 + 34b2 知,C不经过点P1,所以 点P2在C上。直接代入方程,进而求出椭圆的方程 解析 由于P3,P4两点关于 y轴对称,故由题设知C经 过P3,P4两点。 又由 1 a2 + 1 b2 > 1 a2 + 34b2 知,C不经过点P1,所以点P2 在C上。 因此 ì í î ï ï 1 b2 = 1 1 a2 + 34b2 = 1 解得{a2 = 4b2 = 1 。 故C的方程为 x 2 4 + y2 = 1。 (2)设直线 l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若 直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。 2017年高考数学真题全国卷1理科20题评析 ◎ 臧茉白 (河北保定市河北唐县第一中学) 211 高考指南 GAOKAOZHINAN 解题思路:由题意可知直线P2A与直线P2B的斜率一 定存在,不妨先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为 k1

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