2017年高考全国Ⅱ卷理科数学第21题探究分析

作者:屈韬 刊名:数学通讯:学生阅读 上传者:刘奕薇

【摘要】本题作为导数的压轴题,总体难度相比2016年略有降低.主要考查了函数的单调性、极值、最值、零点问题及不等式证明.这些知识点都是函数与导数中的主干知识,学生相对比较熟悉,容易入手和探究.此题的难点主要在变形技巧、理论证明和转化与化归思想的应用上.

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14 数学通讯一——2O17年 第 8期(上半月) ·辅教 导学 · 设函数 (z)一 lnx一 (1一 )(z> o),则 厂 ( )一去一≯1一 .当 一1时,f (z)一o; 当 0< z< 1时 ,f ( )< 0;当 z> 1时 ,f ( )> 0.所以函数 厂( )在(O,+cx。)上有最小值 -厂(1)一 0. 所 以 ,当 z> 0时 ,除点 (1,0)外 ,函数 一 lnx 的图象 恒在 Y= 1一 的 图象 的上方 ,在 (1,O)处 两 曲线 相切 . 求 曲线 .y一 上的点 P与曲线 Y一 1一土 上 的点 Q 的距 离 的最小 值 ,可看 作是 求 曲线 Y— lnx 上的点 P 与点 Q到直线 — 的距离的和的最小 值 ,而函数 ===lnx与Y一 1一 在 一 1处 的导 数都是 1,说 明与直线 Y— z平行的直线与两 曲线 切于同一点(1,0),则 l PQ l的最小值为点 (1,0)到 直线 Y:=:32的距离 的 2倍 . 所以,l PQ l的最小值为 2×— ===√2. √l + 1 评注 求两个 函数图象上两个动点间的距离 的最小值,显然没法利用两点 间的距离公式计算 , 结合函数 一 e 图象上的点关于直线Y— z的对 称点在其反函数 的图象上 ,把 问题转化为求曲线 — lnx上 的点 与 一 1一 土 上 的点 到直 线 一 -z的 距 离 之和 的最 小值 问题 ,而与 直线 — 平行 的直 线 同 时与 曲线 Y— lnx和 Y一 1一 切于 同一 点 (1,0),所以 P,Q间的距离的最小值为点(1,O)到 直线 Y— z的距 离 的 2倍. 类 型 3和类 型 1本 质 上属 于 同一类 型 问题 ,只 是 类 型 3的难 度 比类 型 1的难 度大 一些 . 4.问题变 式 在 这 里 ,笔者 给 出 如 下一 组 变式 题 ,旨在 供 同 仁在教学过程 中作参考和同学们在学习此 问题时 作 练 习. 1.若 点 P,Q分 别 在 函数 Y — e 和 函数 — lnx的 图 象 上 ,则 P,Q 两 点 间 的 距 离 的 最 小 值 是 — — . 2.若 P,Q分 别是 函数 — lnx—z。,Y= z+ 2的 图 象 上 的 动 点 , 则 I PQ I。 的 最 小 值 为 — — . 3.在 函数 -厂(z)= ln(2x~ 1)图象 上 求 一 点 P,使 得 点 P到 直线 — + 3的距 离最 短. 4.若 P,Q分别 是 函数 .y— 。一 lnx, = .27— 2 的 图 象 上 的 动 点 , 则 i PQ 1 的 最 小 值 为 — — . 5.函数 厂( )一 e +z +z+ 1的图 象 M 关 于 直线 2x— 一3— 0对称 的图象为 N,P,Q分别是 两 图象 上 的动 点 ,则 l PQ l的最小 值 为 . 6.如果 P是 函数 Y一 ,(z)图象 上 的点 ,Q是 函数 — g( )图象上 的点 ,且 P,Q两 点之 问 的距 离 1 PQ f能取到最小值 d,那么将 d称为函数Y= 厂( )和 — g(z)之 间 的距 离 .按 这个 定 义 ,函数 1 o 一 (z)一 一J_A和 g(z)一 ~/4一z。之 间 的距 离 上 是 — — . 0 答案 :1.√2. 2.8. 3.( ,ln2). 4. . 5.2 . 6.2 一 2. (收 稿 日期 :2017一 O3— 15) 2017年高考全国 Ⅱ卷理科数学第 21题探究分析 屈

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