用二项式系数性质去除掉伪素数

作者:向训;开芸 刊名:数学学习与研究:教研版 上传者:常玉芬

【摘要】根据素数的定义,利用二项式性质中通项系数的特点,引导出素数判定的方法,也就是将费马小定理逆定理产生的伪素数祛除掉.

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● ● 专 题 研 究 项或系数懂质去除掉伪隶数 ◎向 训 开 芸 (数论爱好者,江苏 涟水 223400) 【摘要】根据素数的定义,利用二项式性质中通项系数 的特点,引导出素数判定的方法,也就是将费马小定理逆定 理产生的伪素数祛除掉. 【关键词】素数;伪素数;费马小定理;二项式定理 一 、二项式定理 又称牛顿二项式定理.该定理给出两个数之和的数次 幂的恒等式,可用公式表示: (口+6) =∑c:口⋯b (,l为正整数,r=0,1,2,⋯,1), 其中,c:= ·又有(:)等记法,称为二项式 系数,即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形. 已经证明二项式有许多性质.特别是其通项系数中的 c:。 ,r= ,2,⋯,n一1,r≠o,r≠ 为正 整数. 当n为素数时,C:能被n整除,(C:,n)=n,每一个二项 式系数 C:都可以被 rt整除一次,C:中只含有一个n因数. 二、伪素数 素数的判定,依定义就是用比它(n)小的数试除,看能 否整除.依推理可用比n的÷ 小的数试除,看能否整除.进 而可用小于等于[ ]的整数试除(取整数部分,下同),看 能否整除.这些是最直接的、最简单的素数判别法 —— 试 除法. 到了1640年代,法国数学家费马注意到素数的一个性 质,即费马小定理.费马小定理:若 n是素数,则对所有不被 n整除的数 n,有 an 1(modn), 或若n是素数,则对任意的整数有n s o(modn). 那么其逆命题:“若 2 一2是 n的倍数 (即 2“ 2(modn)),则n是素数”,但很可惜,经验证费马小定理的逆 定理不成立. 尽管如此,费马小定理的逆定理可产生一些素数判定 的思考. 定义对整数a>1,满足口 n(modn)的合数n称为底 n的伪素数,而且这样的伪素数有无限多. 经过研究费马小定理及其逆命题,与二项式定理有着 很密切的联系,对素数判定思路给了启发. 例如,2圳 ;2(mod341),但 341=11 X 31,341是伪 素数. 为何2 z 2(mod341),341是伪素数呢? ● . . ●._I, ● ● 因为2 -2=(1+1) 一2=∑cr一2虽然能被341 整除,但是341=l1×31,即1li,31j(i=1,2,⋯,n一1,n = 1,2,⋯,n一1,n),每一个单项均不能被341整除; 可是,其二项式系数中的所有 lli与31j项之和,可以被 341整除. 兰、去除掉伪素数 如何将这种类似的伪素数全部去除掉,即称“除伪”,然 后剩下的就是真素数呢? 很显然,如果n为素数,在(1+1) 中,只要将二项式系 数c:中的每一个系数去除以,l,注意r=l,2,⋯,n一1,r≠ O,r≠,l,也即c:中除了第 1项(r=0),及最后一项、第n+ 1项(r=,1)外,其他各项即第二项至倒数第二项的每一项 系数 C:(r=1,2,⋯,n一1)分别都能被 /'t整除 否则 ,t如是 合数,c:(r=1,2,⋯,n一1)中的每个二项式系数,不可能 均被n整除.在2 s 2(rood341)中,将2州 =(1+1)圳 2(mod341), 左边展开后为 c 1+c三4l+⋯+c l+⋯+c 1+⋯+c l+⋯+ c 1+⋯+c篓l+⋯+c 1+⋯+c篓: =c 1+c l+⋯+c +⋯+c +⋯+c :, =l,2,⋯, 一1=30;j:i,2,·一, 一1-l0. 可以看出,在上式中

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