关于两个凸函数乘积的不等式

第 21卷 第 1期 2018年 1月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN C0LLEGE M ATH EM ATICS Vo1．21。NO．1 Jan．，2018 doi：10．3969／j．issn．1008—1399．2018．01．004 关 于两个 凸 函数乘积 的不等式 时统业 ，朱 壕 (海军指挥学 院 信息系 ，江 苏 南京 211800) 摘 要 针对 两个正的连续凸函数 ，利 用各 自的算术平均值 ，给 出它们 乘积的算术平均值 的上界．在这 两个 凸函数 成似序 时，这个上界 比 由 Hermite-Hadamard不 等式 得到 的上 界要 小．在 这 两个 凸函数 成反 序 时，这 个上 界 与 由 Chebyshev不等式得到 的上界各有 强弱． 关键词 Chebyshev不等式 ；Hermite-Hadamard不等式 ；凸函数 ；似序 ；反 序；积分不等式 中图分类号 O174．13 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2018)01—0020—04 Inequalities on Product of Two Convex Functions SHI Tongye and ZHU Jing (Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800，PRC) Abstract For two positive continuous convex functions，an upper bound of the arithmetic mean of their product is given by means of their respective arithmetic means． W hen these two convex functions are in similar order，the upper bound obtained is smaller than that obtained by Hermite—Hadamard inequality． W hen they are in opposite order，the upper bound obtained may be bigger or smaller than that obtained by Chebyshev inequality． Keywords Chebyshev inequality，Herm ite—Hadam ard inequality，convex function，sim ilar order，opposite order，integral inequality 弓I言 口弓I理 设 -厂和 g是定义在[口，6]上 的函数 ，若对于任 意 z，Y∈[口，6]，有 [，(z)一f(Y)][g( )一g( )]≥(≤)O， 则称 厂与 g在[口，6]上成似序(反序)． 若 ，和 g是[口， 上正的凸(凹)函数 ，且 -厂与 g 在[口，6]上成似序(反序)，则参照文([-1-]286)可证明 fg仍是[口，6]上的凸(凹)函数．特别地 ，当 ，和g都 是[。，6]上单调增 加或单调减少 的正 的凸 函数 ，则 收稿 日期 ：2016—11—18 修改 日期 ：2016—12—17 作者简介 ：时统业 (1963一)，男，河北 张家 口人 ，硕 士 ，副 教授 ，从 事 基础数学教学和研究 。Email：shtycit)r@sina