2016年全国课标Ⅱ卷理科第20题解法探究

作者:罗文军 刊名:高中生之友:高考版 上传者:赵洛印

【摘要】2016年高考数学全国课标Ⅱ卷理科第20题总体上保持了近几年来的命题特色,是一道考查直线与椭圆的位置关系的题目,以椭圆的顶点弦问题为载体,考查了弦长公式,也考查了方程的思想、逻辑思维能力、运算求解能力、推理论证能力以及综合分析问题、解决问题的能力。

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2016年高考数学全国课标 Ⅱ卷理科第 2O题总 体上保持了近几年来 的命题特色,是一道考查直线 与椭圆的位置关系的题 目,以椭 圆的顶点弦问题为 载体 ,考查了弦长公式 ,也考查 了方程 的思想、逻辑 思维 能力、运算 求解 能力 、推理论证能力 以及综合 分析问题、解决问题的能力 。其 中第 (I)问容易人 手,第(Ⅱ)问难度较大 ,具有很好 的选拔功能。以 下给出第 (I)问和第(Ⅱ)问的一些解法 ,供同学们 学习时参考。 一 、 真 题再现 2016年高考数学全国课标 Ⅱ卷理科第 20题: 2 2 已知椭圆E: +争=1的焦点在 轴上,A是 J E的左顶点 ,斜率为 k(k>0)的直线交 E于 A, 两 点 ,点 Ⅳ在 E上 ,MA上NA。 (I)当 t=4,I AMI=lANl时,求 AAMN的面 积 ; (Ⅱ)当 2IAMl=IANt时,求 k的取值范围。 二 、解法 探究 第 (I)问的两种解法 : 解法1 当t:4时,椭圆E的方程为 +々 4 ’ = 1,则点 A坐标为(一2,0), 因为 MAj-NA,IAMl=IANI, 所 以AAMN为等腰直角三角形。 由椭圆的对称性可知,LMAx=45。, 所以直线 AM 的倾斜角为 45。,即 k=1, 所以直线 AM 的方程为 Y= +2, 设点 A(x ,Y ),M(x ,Y2), 由』等峙一, 【v= +2 消去 Y整理可得 ,7 。+16x+4=0, 由韦达定理可得, +X2=一 , =争, 所以IAMI=~/(1+k )[( 1+ 2) 一4 1 2] 高 中生之友 上制 霉 = = , 所 以AAMN的面积为 S/~AMN=~-IAMI = 1×(半) = 144。 点评 本解法由已知条件得出直线AM 的斜率 k=1后 ,将直线方程和椭圆方程联立消去 ,借助 弦 长公式I AM I=、 - = 求 解 ,也可以消去Y,利用弦长公式IAMI= 。lYl—Y2 l 解法2 当 =4时,椭圆E的方程为等+予 = 1,则点 A坐标为(一2,0), 设直线A 的倾斜角为 (0< <詈), 则直线AⅣ的倾斜角为詈+ , 直线AM的参数方程为{ ,(其 【Y=msina 中 m为参数), f = 一2一nsina 直线 AⅣ的参数方程为{ ,(其中 LY nCOSO/ n为参数), 将直线 AM 的参数方程代人椭 圆方程 + :1,整理可得 4 ’ (3cos +4sin )m 一12cosa·m=0, 解得 m =0,m = 12c osa , ~fiI)A IAMI=lm 一m:I= 12 co sa , 同理可得, lAⅣ l=— 12s ina 3sin 4cos , + ‘ ~ j IAMI=IANI,解得 = 'IT, 高中生之友 ·2017.1~2.上旬刊 ⋯ 。 12cos詈 1242- 所以lAMl- — — — — — 二一 :半 , 3cos2号sin 寻 j。。 +4吼 所以ZXAMN的面积为 SAAMN-~--~IAMI = 1×( )。= 144。 点评 本解法利用 了直线 的参数方程的几何 ·音 义 隶解 第(Ⅱ)问的三种解法: 解法 1 由已知可得点 A(一 ,0),其中 t>3, 直线 A 的方程为 Y=k(x+ ),直线 AN方程 为 y:一 ( + ), 由f +予=1消去y整理可得, ty:k(x+ ) (tk +3) +2t√ + .i} 一3t=O, 由韦 达 定 理 得, 。+ := 一 , = 旦 : 礤 = ㈠ 用 一÷替换( )中的 ,可

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