Barker码的一些结论和二元码的优选问题

作者:杨光正 刊名:电子科学学刊 上传者:胡竞楠

【摘要】本文最终证明了不存在n>13位的Barker码,并探索了二相码的解析优选法。文中定义了一个Y_n矩阵,并由Y_n导出了二相码的重量w,Hamming距离d,游程数ι和码长n之间的关系式,所得关系不仅揭示出二相码各参数之间的内在联系,而且可用它来解决Barker码的存在性问题,从而将二相码的优选问题建立在解析的基础上。文中还举出了应用实例。

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1引言优选二相码是一件十分艰巨的工作,Lindnern’和cohn乜’的计算机优选法不仅耗资耗时惊人,而且只能用于码长不长的情况.分数维树选码法嘲虽然在搜索时间上改善了几个数量级,但可惜得到的不是最优码.对二相码的优选问题迄今为止尚无良策.Barker码是最佳二相码,然而自1953年Barker嗍码问世近半个世纪以来仅找到了几个Barker码,是否存在>13位的Barker码?这个难题一直困扰着学术界,到目前为止,仅得到如下结论:storer圈证明了当为奇数时肯定不存在">13位的Barker码.Luenburger’进一步证明了倘若存在>13位的Barker码,则必为完全平方数,最后Turyn忉指出这个完全平方数的形式应该是"一4I。,并猜测很可能不存在,l>l3位的Barker码.由于二相码在现代雷达、通讯、遥控遥测等领域中的广泛应用,所以无论从理论或应用的角度来看,解决这两大难题都有十分重要的意义.2),n矩阵和定义设”阶方阵M。一【口ii]。,。玎(0,1),i,jl,2,…,,I满足条件:(1)口‘(;+1)=一口(j+1)f(mod,1),电子科学学刊(2)(alk0口谴)一dGOnSt,if,其中0是异或运算..对域f一(0,1),F一(1,一1),作映射p:p(,)一F,p’(F)一f,“(口if)一{‘fj,lj,j":‘玎F}.记弘(M。)一【fii】。一y。.不难看出y。是对称方阵,且其任一行是由前一行循环左移一位而得.由y.的行向量构成的序集记为c一(ci),fl,2,…,,1.若向量ci一(fij),Cicc,fjfF,jl,2,…,,1.是码字,则y。的逆象M。是等重等距码矩阵.文中我们不加区分地将y。也称为等重等距码矩阵.由于映射:0呻1,l一一l,故c。(cc)的重量就是ci中一l的个数.c‘(cc)与Cj(cc)之间的Hamming距离J等于cf与Cj逐位相比所得的异号元素(文中简称异元)的个数.容易证明(从略)y。有以下性质:(1)cij篇cij'r,t一~itt;l-1,_1I霉1老墨1.,^,(2)(ht+%1)一,ld,ij;(3)%一c(暑+,地+f),r;(圣+,)一r(墨+,)j,i,j詈,当以为偶数时;%一r(半+i)(孚,i孚,j半,r。哗+j)一r(半舻叫孚,当n为奇数时.定义l若z是c。(cc)的游程数,定义L,一[,/2]为码c;的码节数.[】表示不超过木的最大整数.定义2c,(cc)的前z^个游程称为码首c^,最后z,个游程称为码尾c,,中间7Iz一(z^+L)个游程称为码身c5.‘定义3cf(cc)与cf(cc)逐位比较,ci中的负元与ci中对应元异号的个数称为负元距离,记为d2;(i,j),同号的个数称为负元零距,记为d刍(i,j).定义4最优码采用Lilndnerm的定义,对最大旁瓣不超过l的最优码称为最佳码.定义S周期性自相关函数的旁瓣恒为常数的码称为匀值旁瓣码.3匀值旁瓣码的几个定理引理l若4和L,分别是y.申码字间的Hamming距离和码字的码节数,则必I期杨光正等:Barker码的一些结论和二元码的优选问题有L,一J/2.(1)证因c川(cc)是cr(cc)左循环位移一位的结果,因此一个游程仅能提供一对异元.现将ci+1与cj逐位比较,当游程总数z为偶数时,异元数Jz,当z为奇数时,必有c。一c。(c,),因此左循环位移一位后,,个游程只能提供z一1对异元,亦即d一,一l,又因在z为奇数的情况下,等式[,/2]一(,一1)/2成立.综合两种情况即得L,一d/2.证毕定理1在

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