重视背景历经过程 变通思维崇尚理性——由一次周测结果引发的思考

作者:郑良; 刊名:中学教研(数学) 上传者:邓维青

【摘要】文章以《数学(选修2-2)》周测题为载体,呈现学生的答题错误和教师的教学情况,分析错误成因,同时针对教与学的现状,结合教学实践给出教学思考.

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重视背景历经过程 变通思维崇尚理性* ———由一次周测结果引发的思考 ●郑 良 ( 灵璧县第一中学,安徽 灵璧 234200) 摘 要: 文章以《数学( 选修 2-2) 》周测题为载体,呈现学生的答题错误和教师的教学情况,分析错误成因,同时针对教与学的现状,结合教学实践给出教学思考. 关键词: 背景; 经历; 思维; 理性; 核心素养 中图分类号: O122 文献标识码: A 文章编号:1003 -6407( 2019) 01 -0004 -05 1 问题提出 最近笔者所在学校高二年级安排了内容为《数学( 选修 2-2) 》全册( 推理与证明、导数、定积分、复数) 的周测. 面对学生不堪入目的答卷,家长牢骚满腹、无能为力; 学生无精打采、唉声叹气; 教师愁容不展、无可奈何. 通过学科组教研活动,笔者较全面地了解了学生的答题情况和教师的授课情况. 本文以部分典型问题为例,给出对相关问题的理解,不足之处,敬请批评指正. 2 案例剖析 例 1 集合 A 是集合{ 1,2,3,…,14} 的子集,从 A 中任取3 个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则 A 中元素个数的最大值是 . 多数学生找不到解题的切入点,部分学生缺乏理性思维能力和全局意识导致集合 A 中存在某 3 个元素能构成等差数列. 解 由题意知,若 1∈A,2∈A,则 3A,令 4∈ A,5∈A,则 6A,7A,8A,9A. 令 10∈A,11∈ A,则 12A,令 13∈A,14∈A,此时 A 中元素个数的最大值为 8. 评注 题设“由小到大排列”可隐去,学生应该想到对数进行大小排序实现化无序为有序,方便操作. 集合 A 中数的起点和跨度如何确定? 为使集合 A 的元素个数最多,需要其起点低( 数值小) 、跨度小. 以上理应是思维训练有素的学生自然想到的,从本题解答可以看出,多数学生不会思考,即其逻辑推理能力不过关. 教师针对基础薄弱的学生应该使用“助产术”启发并助推学生思维有序化,逐步实现思维的优化( 如自然数加法的奇偶性判断等) ,而对于逻辑思维能力强的学生,教师可引导其探究此类问题是否具有一般性结论. 例2 在等比数列{ an} 中,若 a1∈( 0,1) ,a2∈ ( 1,2) ,a3∈( 2,3) ,则 a4 的取值范围是 .多数学生利用等比数列的性质得到 a4 = a2a3 a1 ∈( 2,+ ∞) , 部分学生适度压缩范围得到 a4 = a2 3 a2 ∈( 2,9) . 在等比数列{ an} 中恒有“ a2a3 a1 = a2 3 a2 ”,为什么此处 范围不同? 类比是一个伟大的引路人. 我们遇到过类似问题吗? 本题与类比模型有无差异? 产生差异的原因是 a1,a2,a3 彼此关联,导致个体( a1,a2,a3) 或总体( 目标 a4) 的范围不够精准,故可尝试压 缩其范围或通过变换实施等价转化. 解法 1 设数列{ an} 的公比为 q,则 0 < a1 <1, ( 1) 1 < a1q <2, ( 2) 2 < a1q2 <3, ( 3{ ) 由式( 1) 和式( 2) 得 q >1,由式( 2) 和式( 3) 得 1 < q <3,由式( 1) 和式( 3) 得 q2 >2,即 q 槡 > 2,故槡 2 < q <3,因此 a4 = a3q∈( 槡 2 2,9) . 解法 2 由条件 a1∈( 0,1) 知 a2 = a1a 槡 3 ∈( 1, 槡 3) , a1 = a2 2 a3 ∈ 1 3 ,( )1 , 从而 q = a2 a1 ∈( 1

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