分形空间上广义凸函数的新Simpson型不等式及应用

作者:孙文兵;刘琼; 刊名:数学物理学报 上传者:肖艳春

【摘要】根据局部分数阶微积分理论以及分形实线的α(0 <α≤1)型集合R~α上广义凸函数的定义,获得了几个涉及局部分数阶积分的Simpson型不等式.最后,给出了所得不等式在特殊均值和数值积分中的几个应用.

全文阅读

1引言设/:[a,&]—M在区间(a,6)上是一个四阶连续可微函数,且丨丨/⑷丨丨〇〇=sup丨/(4)|<x6(a,6)〇〇,那么有如下不等式成立1 [ZM±M+2/ -^/h/(x)d,|< (1.1)不等式(1.1)是著名的Simpson不等式.对于该不等式的改进和推广,一般要用到函数凸性的定义,随着对凸性定义的推广研究,Simpson不等式的研究成果也越来越多,读者可以参见文献[1_5]等.近年来,分形理论作为一门新理论、新科学在科学工程领域得到广泛的应用.分形理论最基本的特点是用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物,由于分形理论的出现,许多力学等工程应用领域的问题得到了合理的解决和处理.因此,关于分形空间的数学理论的发展也十分迅速,尤其一些学者通过不同的方法构建了分形空间上的微积分理论,受到广泛关注,见文献[6-叫在文献[8, 11-12]中Yang系统阐述了建立在分形空间上的局部分数阶微积分的相关理论.文献[13]中,Mo等提出了关于分形空间上广义凸函数的定义,并在分形空间上推广了Hermite-Hadamard不等式,结论如下: 定义1.1[13)设/··J g]R—IT,对任意巧,叼e/且A e [0,1],如果以下不等式成立f(\Xl+(1-X)x2)<\af(Xl)+(1-X)af(x2),则称/为定义在/上的广义凸函数.定理1.1[13】(广义Hermite*Hadamard不等式)令/(a;)€Z^[a,6]是区间[a, 6]上的一个广义凸函数,a则j r2(6-a)c(1.2)文献[14]中,Set等建立了一些关于广义拟凸函数的Simpson型积分不等式,并且证明了如下恒等式.引理1.1设J g M是一个区间,/:/°g K—IT(尸是了的内部)使得/€ 且/⑷e Ca[a, 6],其中a, 6€/°,a <6.则对于所有的e [a, 6],有如下等式成立6°=f(a)+f(b)+Aafci+6、r(l+a)(6-a)aal{ba)f(^){b~a)c2a+(会-会r/⑷r(l+a)J〇1+t~~2(蠢-a+\-ty(叫c(1.3)本文在局部分数阶微积分理论的基础上,由分形集上广义凸函数的定义以及广义Hdlder不等式等工具对Simpson型不等式进行推广,得到几个分形空间中关于广义凸函数的新Simpson型不等式,文章最后给出了这些不等式在求特殊均值以及求局部分数阶积分的数值积分上的应用.2预备知识设为分形实线的《(〇<a g 1)型集合,称为一个分形集合,它与实数集K构成一对一的关系呪相关运算律如下:若aa,6a,ca€Ra(0<a S 1),则(1) aa+ba e Ra, a°ba e Mtt,(2) aa+ba=ba+aa=(a+b)a=(b+a)a,(3) aa+(ba+ca)={a+b)a+ca,(4) aaba=baaa={ab)a=(ba)a,(5) aa(baca)=(aaba)ca,(6) aa(ba+ca)=aaba+aaca,(7) aa+0a=0a+aa=aa且aala=laaa=aa.利用Gao-Yang-Kang的方法给出局部分数阶导数和局部分数阶积分的定义-9L定义2.1[81设/:R-> R'a;—/⑷是一个不可微函数,如果对于任意的e> 0,总存在5> 0,其中e,<5 e R,使得当卜一;c〇|<<5时有|/(x)-f{x〇)\<ea 成立,则称不可微函数/在卻处局部分数阶连续.如果/⑷在区间(a, 6)上局部分数阶连续,记为/(a〇eCa(a,fc).定义2.2间若/(

参考文献

引证文献

问答

我要提问