弹簧螺旋摆系统非线性振动的理论研究

作者:石玉仁;张娟;李东升;耿碧玉 刊名:大学物理 上传者:常丹

【摘要】运用牛顿第二运动定律对弹簧螺旋摆系统建立了模型方程,该方程为一组非线性微分方程,表明该系统具有复杂的非线性特征.理论分析表明,当系统固有的振动频率和摆动频率之比为2时,自由振动的弹簧螺旋摆系统存在内共振现象,数值求解结果证实了这一结论.并认为在一般情况下,弹簧螺旋摆系统的自由振动可能是准周期的.

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把通常单摆的摆线换为弹簧,便由弹簧和摆球构成了弹簧摆.当小球在弹簧的方向作纵向小振幅振动时,便构成弹簧振子.文献[1,2]中对弹簧振子的简谐振动和受迫振动做了详细研究.当小球摆动时,系统的运动更为复杂,其行为在理论、数值模拟和实验方面已有很多研究[3-8].早期,戈利克(GorelikG)和韦特(WittA)[5]从实验上观察到弹簧摆在满足内共振条件下的模态相互作用,其表现是:若给小球摆角一个很小的初始值,再给摆长一个初始值而开始振动,则起初质点主要作上下振动,即弹簧型振动;后来摆型振动逐渐加强而弹簧型振动逐渐减弱,振动能量如此交替地从一种振动形态变为另一种振动形态.这种现象称为内共振.文献[6]用射频摄像技术和计算机技术从实验上研究了弹簧摆的内共振现象.文献[7]应用莫尼科夫(Melnikov)方法判断斯梅尔(Smale)马蹄映射,用庞加莱(Poincare)截面的数值计算证实弹簧摆系统中存在混沌运动.文献[8]研究表明,在合适的参数范围内,弹簧摆的运动表现出非常丰富的分岔和混沌运动现象.文献[18]仅在一维或二维情况下对弹簧摆系统的运动进行了研究,而一个实际的弹簧摆系统是作三维运动,这种情况下的研究报道却很少.本文对三维情况的弹簧螺旋摆系统运用牛顿第二运动定律建立了其运动方程,该方程为一组复杂的非线性方程,表明该系统具有复杂的非线性特征.理论分析表明,当系统固有的振动频率和摆动频率之比为2时,自由振动的弹簧螺旋摆系统存在内共振现象,数值求解结果证实了这一结论.1模型及运动方程弹簧一端悬挂,另一端连接质量为m的小球,在三维空间中运动时便构成弹簧螺旋摆系统.假设小球可视为质点且小球运动时弹簧不发生扭转形变,弹簧的质量可以忽略不计且胡克定律始终成立.以悬挂端为坐标原点建立空间直角坐标系,设任意时刻t质点的位矢为r(t)=(x(t),y(t),z(t)),则t时刻质点受力情况如图1所示,其中k为弹簧的劲度系数,l0为弹簧的固有长度,g为重力加速度;-r为阻尼力,为阻尼系数,FD(t)=(FDx,FDy,FDz)图1系统受力分析图为外加驱动力.按牛顿第二运动定律,小球满足运动方程:mr=mgez-r-k(r-l0)er+FD(t)(1)其中ez=(0,0,1)为z方向单位矢量,er=rr=1r(x,y,z)为r方向单位矢量,r(t)=x2(t)+y2(t)+z2(t)为t时刻弹簧的长度.方程(1)的分量形式为:mx=-x-kx1-l0x2+y2+z2+FDxmy=-y-ky1-l0x2+y2+z2+FDymz=mg-z-kz1-l0x2+y2+z2+FDz(2)记x=xl,y=yl,z=zl,t=t,则方程(2)的无量纲化形式为:x=-2x-20x1-20-120x2+y2+z2+fDxy=-2y-20y1-20-120x2+y2+z2+fDyz=1-2z-20z1-20-120x2+y2+z2+fDz(3)其中l=l0+mgk,=2m,0=,2=gl,2=km,为长度为l的单摆小振幅摆动时的频率,为弹簧振子简谐振动的频率,fDi=FDiml2(i=x,y,z).为书写方便,方程(3)中已省去“”号.进一步计算得l0l=20-120,注意到01,即应有>,所以文献[6]中讨论的某些情形如:=1:1或:=1:2等不具有实际的物理意义.方程(3)是一组非线性微分方程,它表明弹簧螺旋摆系统的运动具有复杂的非线性性质.当质点自由振动时(FD(t)=0且=0),系统的运动状态完全决定于初始条件和系统参数0;当质点作无驱动阻尼振动时(FD(t)=0但0),在阻尼力

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