一类伴有移民的随机环境两性G-W分枝过程的极限行为

作者:卢准炜;陈虹仿 刊名:太原理工大学学报 上传者:马冬兰

【摘要】在前人研究的基础上,建立了独立同分布环境下伴有移民的两性G-W分枝过程模型,其中配对函数L是上可加的,后代概率分布受一个随机环境过程影响。研究了第n代每个配对单元的平均增长率的极限行为,并在下临界情况下推得此过程{Zn}当n→∞时依分布收敛于一个有限的、正的、非退化的随机变量。

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两性G-W分枝过程作为一种重要的两类型分枝模型是由Daley首次提出的(见文献[1])。迄今已有很多作者对其进行过研究(见文献[2-5])。2000年,GonzlezM与MolinaM等作者又建立了带移民的两性G-W分枝过程以及变化环境中的两性G-W分枝过程模型,对于这些比较复杂的模型,首先讨论的是其灭绝概率准则,在其基础上进一步研究其极限行为(见[2])。2006年马世霞又建立了随机环境下两性G-W分枝过程模型,其中后代概率分布受一个随机环境过程的影响,并且对假设环境过程是独立同分布的随机变量序列或者是一般的平稳遍历过程情形进行了研究,得到了判断过程必然灭绝与非必然灭绝的判定准则[3]。本文考虑伴有移民的独立同分布随机环境两性G-W分枝过程,在下临界情况下研究此过程的极限行为。为简便起见,约定其中涉及到的随机变量的期望均存在。1概率模型设(,F,P)是给定的概率空间,(,)是一个可测空间。{n}n=0是从(,F,P)映射到(,)上的一个随机环境序列。令Z0=N,Zn(Fn+1,Mn+1)=j=1(fnj,mn,j)+(FIn+1,MIn+1),Zn+1=L(Fn+1,Mn+1),n=0,1,2,….(1){(fnj,mnj)}j=1在给定n条件下为取非负整数值的独立同分布二维随机变量序列,其共同的概率母函数为n(s1,s2)=k,l=0pk,l(n)s1ksl2,0s1,s21.其中pk,l(n)表示第n代中的任一个配对单元在环境变量n的条件下生k个雌性个体和l个雄性个体的条件概率。配对函数L:Z+Z+Z+,满足L(x,y)xy.{(FIn,MIn),n=1,2,…}是独立于{(fnj,mnj)}的取正整数值的二维独立同分布随机变量序列。FIn和MIn分别为第n代移入的雌性个体数和雄性个体数,则称{Zn}为伴有移民的随机环境为{n}的两性G-W分枝过程。定义1对于一个伴有移民的随机环境下的两性G-W分枝过程被称为是上可加的,如果其配对函数L是上可加的[2]。定义2对于一个伴有移民的随机环境下的两性G-W分枝过程,当第n代配对单元数为k时,定义第n代每个配对单元的平均增长率为rk=1kE[Zn+1|Zn=k]=kELkj=1(fnj,mnj)+(FIn+1,MIn+1),n=0,1,…;k=1,2,….2模型(1)的主要结论与证明定理1假设在模型(1)中,{n}为独立同分布的随机环境序列,=(Efn1,Emn1)>0,配对函数L具有上可加性且满足L(x,y)x+y,那么有1)极限limkrk=r=r(Efn1,Emn1)存在,其值依赖于Efn1,Emn1.2)r=r(,)是一个二元连续函数。3)limkk-1L(k(Efn1,Emn1)+(EFIn+1,EMIn+1))=r.证明过程分为6步进行。第1步由强大数定律易得,当k时,Nk-1j=1(fnj,mnj)+(FIn+1,MIn+1)a.s(Efn1,Emn1)=.第2步证明k-1L(k(Efn1,Emn1))极限存在,并记该极限为r=r(Efn1,Emn1).证令ak=k-1L(kEfn1,kEmn1),ak+1ak=L((k+1)Efn1,(k+1)Emn1)k+1kL(kEfn1,kEmn1)=L((k+1)Efn1,(k+1)Emn1)L(kEfn1,kEmn1)kk+11+L(Efn1,Emn1)L(kEfn1,kEmn1)kk+1.注意到L的非负性,当k时,两边同时取极限即可得limkak+1ak1.即当k充分大后,ak关于k单调不减。又因为akL(Efn1,Emn1)0,有r(E

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