2012年高考数学大纲全国卷第20题(2)别解

作者:赵忠平 刊名:数理化学习(高一、二) 上传者:陈敏星

【摘要】题目:设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].

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f高一二陋』 爨理化 学习 ●赵忠平 201 2年高考数学大纲全国卷第20题(2)别解 题目:设函数f( ):ax+COSX, ∈l0,盯』. (1)讨论f( )的单调性;(2)设f( )≤1+sinx,求a的取 值范围. 解法 1: (2)f( )≤1+sinx B口ax+COSX≤ 1+sinx ( ) 当 =0时,对“∈R不等式( )恒成立;当0< ≤叮T时,不 等式($)可化为 。≤ 上 堡二 , 构 造 函 数 g( ) = +一 二 , 则 g ( ) : 二 _± 二 ,构造函数 (̂ ): si + COSX) 一(1+sinx—COSX),贝0 h ( )=(COSX—sinx) ,当0≤ ≤子时,h ( )>0,当詈≤ ≤叮T时,h )<0,故 ( )在 区间[0,子]上递增,在区间[詈,耵]上递减,又因为̂(0)=0, (̂子)= 4—1>0,/。(盯)=一盯一2<0,所以存在 。 [孚, ],使得 h(‰)=0,故当 ∈[0, 。]时,h(x)≥0,当 ∈[ 。, ]时,h( )≤0,故当 ∈[0, ]时,g ( )≥0,当 ∈f 。,竹] 时,g ( )≤0,即g( )在[0,X0]上单调递增,在[ 。, ]上单调 递减,又因为limg( ):li :l,g(叮r): ^ n 1 ÷,因为1>{,故当 =1T时,g( )⋯=_三_,要使不等式n≤ 叮T 1T 耵 _l一十一 二 ,当 ∈(0,叮T]上恒成立 ,只需n≤ .综上n的 范围是(一。。, ] ,-f 解法2√’(X)≤l+sinx即aX +COSX≤l+sinx,可化为ax一1≤ sinx—COSX,构造函g( )=aX一1, h( )=sinx—COSX, ∈[0, ],画 出函 数 g(x)、h( )图 象 如 图, g( )图象是过 (0,一1)点的直 线,h( )的图象也过(0,一1)点, 往[o,’ ]上为增函数 ,在 [ , 盯]上为减函数,要使ax—I≤sinx J 一 2: j 1 0 / ≯ 图 1 COSX在[0, ]上恒成立 ,只 ’ 需 [0 ,叮T]时g( )图象在h(x)图象下方,由图象知。≤— 盯 时不等式恒成立,即“的范围是(一。。,三 ]. 0 qT 甘肃省永昌县第一高级中学 (7372oO) 种分法,三堆以甲、乙、丙命名有 A 种分法,所以 ·A = 2L 2 ,2 , 因此 : 2 2 2 :15(种). n 3 十、直接不易间接排除 例 10 一条长椅上有7个座位,4人坐,要求 3个空位中有 两个空位相邻,另一个空位与这两个空位不相邻,有多少种不 同的坐法? 解析:7个座位4人坐,有A;种坐法,其中不符合题意的坐 法有两类:(1)3个空位相邻,把它们看成大元素,有A;种不同 的坐法;(2)3个空位彼此不相邻,那么3个空位只能插入由4 人坐一排而形成的5个空挡中的3个,有 c;种方法,所以n= A;一A;一A:G;=480(种). 十一、构造集合元素分类 例11 车间有9个工人,有4人只会车工,有3人只会钳工, · 12· 有2人既会车工又会钳工.现从 中选派车工、钳工各 2人去完成 某一任务,有多少种指派方法? 解析:设会钳工的工人构成集合 A,会车工的工人构成集合 日,那么既会钳工又会车工的工人即为 A n日,于是指派方法可 分为三类:(1)在集合 A中派只会钳工的: 人2

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