Mbekhta’s子空间与算子谱理论以及对全空间的直和分解

资源类型:pdf 资源大小:204.00KB 文档分类:数理科学和化学 上传者:韩亚琼

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文档信息

【作者】 高金梅 

【关键词】K A H0 A σ A SVEP AinvB 

【出版日期】2005-04-15

【摘要】主要利用Mbekhta’s子空间讨论了有界线性算子谱理论中的一些问题,还针对一种算子———广义逆算子,利用Mbekhta’s子空间对全空间进行直和分解

【刊名】曲阜师范大学学报(自然科学版)

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1 引  言本文中如果没有特别说明 ,用H表示Hilbert空间 ,B(H)表示H上的有界线性算子的全体 ,设A∈B(H) ,N(A)和R(A)分别表示算子A的核空间和值域 .1987年 ,MbekhtaM于文献 [5 ]中引进了两个著名的子空间 :设A∈B(H) ,H0 (A) ={x∈H ,limn→∞ ‖Anx‖1/n=0 } ;K(A) ={x∈H , c >0 ,{xn} H ,s .t.Ax1=x ,… ,Axn +1=xn,… ,‖xn‖≤cn‖x‖ , n∈N} .下面就利用这两个子空间H0 (A)和K(A)来讨论有界线性算子谱理论中的一些问题 ,另外还针对闭算子的广义逆算子 ,对全空间进行直和分解 .2 主要结果下述定理给出了任一复数λ是有界线性算子A的特征值的一个判定条件 .定理 1 设A∈B(H) ,λ∈C ,则λ∈σp(A)的充要条件是 { 0 } H0 (λ -A) .证明 充分性 .若对复数λ有 { 0 } H0 (λ -A) ,则H0 (λ -A) ⊥ H .据文献 [5prop 1.8],H0 (λ -A) [K(λ -A) ]⊥ ,可得K(λ -A) H ,又因为R(λ -A) =H K(λ -A) =H ,所以R(λ -A) H ,从而 { 0 } [R(λ -A) ]⊥ =N(λ -A) ,因此λ∈σp(A) .必要性 .若λ∈σp(A) ,则 { 0 } N(λ -A) .因 λ∈C ,总有N(λ -A) H0 (λ -A) ,故 { 0 } H0 (λ -A) .下述定理给出了复数λ是有界线性算子A的谱点但非其特征点谱的判定条件 .定理 2 设A∈B(H) ,λ∈C ,则λ∈σ(A) \σp(A)的充要条件是H0 (λ -A) ={ 0 } ,且K(λ -A) H .证明 充分性 .因为K(λ -A) H ,所以λ -A不可逆 ,从而λ∈σ(A) ,又由H0 (λ -A) ={ 0 } ,可知N(λ -A) ={ 0 } ,从而λ σp(A) ,所以λ∈σ(A) \σp(A) .必要性 .如果λ∈σ(A) \σp(A) ,则λ不是A的特征点谱 ,根据定理 1可知H0 (λ -A) ={ 0 } .又因为λ-A不可逆 ,所以K(λ -A) H .系 设A∈B(H) ,则A在其非特征值的谱点处有SVEP .证明 在假设条件下根据定理 2有H0 (λ -A)∩K(λ -A) ={ 0 } .再据文献 [2Th 1.4 ]可知 ,A在λ处有SVEP性质 .下面将对广义逆算子利用其Mbekhta’s子空间对全空间进行分解[7] .定理 3 设A ,B∈B(H) ,如果AinvB ,则H =H0 (AB) K(AB) .证明 首先证明H0 (AB) =N(AB) ,K(AB) =N(I -AB) .若AinvB ,根据定义有AB =(ABA)B =(AB) (AB) =(AB) 2 . ( )用数学归纳法可得 (AB) n=AB ,n∈N .所以H0 (AB) ={x∈H :limn→∞ ‖ (AB) nx‖1n =0 } ={x∈H :limn→∞ ‖ (AB)x‖1n =0 }={x∈H :‖ABx‖ =0 } =N(AB) .显然N(I -AB) K(AB) ,下证K(AB) N(I -AB) . x∈K(AB) , {xn} H ,s .t.x =ABx1,xn=ABxn +1n≥ 1,从而有x =ABx1=AB(ABx2 ) =(ABA)Bx2 =ABx2 =x1,x1=ABx2 =AB(ABx3) =(ABA)Bx3=ABx3=x2 ,……由数学纳法知x =x1=x2 =… ,所以x∈N(I -AB) ,由x的任意性知K(AB) N(I -AB) .由 ( )式知道AB是幂等算子 ,从而有H =N(AB) N(I -AB) .综上可知H =H0 (AB) K(AB) .系 设A ,B∈B(H) ,如果AinvB且AB =BA ,则有H =H0 (A) K(A) =H0 (B) K(B) .证明 下证对AinvB ,且AB =BA有K(AB) =K(A) =K(B) ,H0 (AB) =H0 (A) =H0 (B) .因为AB=BA ,所以K(AB) K(A)∩K(B) ,H0 (A)∪H0 (B) H0 (AB) .又因为AinvB ,所以K(A)∪K(B) K(AB) ,H0 (AB) H0 (A)∩H0 (B) .从而K(AB) =K(A) =K(B) ,H0 (AB) =H0 (A) =H0 (B) .据定理 3,H =H0 (A) K(A) =H0 (B) K(B) .致谢 作者对导师龚为邦教授的悉心指导表示衷心地感谢Mbekhta’s子空间与算子谱理论以及对全空间的直和分解@高金梅$青岛大学数学系!266071,山东省青岛市K(A);;H0(A);;σ(A);;SVEP;;AinvB主要利用Mbekhta’s子空间讨论了有界线性算子谱理论中的一些问题,还针对一种算子———广义逆算子,利用Mbekhta’s子空间对全空间进行直和分解[1]ConveyB .ACourseinFunctionalAnalysis[M].SecondEdition.NewYork:Springer,1990. [2]FinchK .ThesinglevaluedextensionpropertyonaBanachspace[J].PacificJMath,1975,58:61~69. [3]GongB ,HanDG .SpectrumoftheProductsofOperatorsandCompactPerturbations[J].ProcAmerMathSoc,1994,120:755~760. [4]GongB ,WangLB .Mbekhta’ssubspacesandaSpectralTheoryofCompactOperators[J].ProcAmerMathSoc,2003,131:587~592. [5]MbekhtaM .Generalisationdeladecompositiondekatoauxoperateursparanormauxetspectraux[J].GlasgowMathJ,1987,29:159~175. [6]Schmoeger.Onisolatedpointsofthespectrumofaboundedlinearoperator[J].ProcAmerMathSoc,1993,117:715~719. [7]刘丽.MBEKHTA子空间与算子的可逆性[J].曲阜师范大学学报(自然版),2003,29(3):37~38.

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