2014年高考数学湖北卷理科压轴题解法探究

作者:梅柳红 刊名:《中学数学(高中版)上半月》 上传者:郑炎彬

【摘要】2014年高考湖北卷理科第22题考查函数、导数、对数函数、指数函数、幂函数及性质、不等式的证明,考查逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力及数据处理与估算的能力,考查化归与转化思想以及分类讨论思想.本文给出该题的几种解法,与大家共勉.

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教 学 参谋 解法探究 2014年 9月 20 1 4年高考数学湖北卷理科压轴题解法探究 ⑩湖北省武汉市钢都 中学 梅柳红 2014年高考湖北卷理科第22题考查函数 、导数 、对 数函数 、指数函数 、幂函数及性质、不等式的证 明,考查 逻辑思维能力 、推理论证能力 、运算求解能力及数据处 理与估算的能力,考查化归与转化思想以及分类讨论思 想.本文给出该题的几种解法 ,与大家共勉. 题 目:1r为圆周率 ,e:2.718 28⋯为自然对数的底数. (I)求函数 )= 的单调区问; (Ⅱ)求 e 、3e、e 、 、3 、 这6个数 中的最大数与最 小数 ; (Ⅲ)将e 、3e e 、1Te、3 、叮r 这6个数按从小到大的顺 序排列 ,并证明你的结论. 解答 :(I)函数厂( )的定义域 为(0,+。。) 厂 ( )= 1-1nx — — — 一 · 当厂 ( )>0,EPO<x<e时,函数厂( )单调递增; 当厂 ( )<0,即 >e时,函数 )单调递减. 故函数,【 )的单调递增区间为(O,e),单调递减区间 为(e,+∞). (1/)解法 1:因为e<3<w,所 以eln3<eln'rr,wlne<~ln3, ~llln3 <ln叮丁。.1ne丌<ln3I 于是根据函数y=lnx、y=C、),= 在定义域上单调递 增 ,可得3 <竹 < ,e3<e~<3L 故这6个数中的最大数在 ,与3 之中,最小数在3 与 e 之 中. 由e<3<竹及(I)的结论 , ) 3) e),即 < 兀 ln3 lne — — <— — . 3 e 由 < ,~ln,rr3<ln3 ,所 以3丌> ; 丌 3 由 < ,得1n3e<lne3,~i:1223~<e j e 综上所述 ,6个数中的最大数是3 ,最小数是3 解法2:同解法1得 :这6个数中的最大数在1T3与3 之 寸’?擞 ·7高中版 中,最小数在3 与e 之中. 设6>。≥e,由(I)的结论 ,~ln- - - Ra> , 即l >l 6 6/, b 则当6>0≥e时, >6 ① 在①中,令a=3,b=Tt,得3 竹。; 在①中,令 e,b=3,得3。<e 综上所述,6个数中的最大数是3 ,最小数是3。. (III)解法 1:由(11)知3 <订。<盯 <3 ,3 <e 由(Ⅱ)知 < ,则可e< 一 耵 e 故只需比较e 与丌 和e 与叮r。的大小. 由(I)知 :当0 <。时 ) ): ,即 < . e e 在上式 中,令 : ,又 <e,则ln < ,从 而2一 lnw<e 。 即得1n,rr>2一旦 . 订 ② 由②得eln 2一詈)>2.7×2一 1>2_7×(2_0.88)/ 1T/ j.1 = 3.024>3,I~Deln'rr>3,亦 Nllnw">lne’,所 以e < 由②得3ln1T>6—3e>6一e>叮『 , ~IJ3]n丌>竹,所 以e < 综上所述,3。<e <叮Te<e <盯 <3 ,fill6个数从小到大的 顺序为3 、e 、1Te、e 、 、31T. 解法2:同解法1得ln,rr>2一一e. ② 因为81T一9e>8x3.1-9x2.72=24.8—24.48=0.32>0,所以 e 8 — — <——. 叮T 9 于是2一詈>2一s9=190>÷,2一詈>2一詈= >詈. 由②得ln耵> ,ln百> ,即eln丌>3,31n'rr>'rr,故e < e j 订 .e < 综上所述 ,3 <e。<1Te<e < <3w,El1 6个数从小到大的 2014年 9月 解法

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