青山不言自拥翠——2014年高考数学四川卷理科压轴题分析

作者:曾皓 刊名:《青年时代》 上传者:叶亮

【摘要】2014年四川高考理科数学压轴题,题型新颖,清新别致,试题层次分明,梯度适宜,顺应了新课程改革的潮流,为高中数学教学起到了很好的引领作用本文重点对第(Ⅱ)问进行了多角度、多层次的剖析,得到了有益的启迪和收获.

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基 础 教 育 囝 敬 融 2014年 5月 青山不言 自拥翠 201 4年高考数学四川卷理科压轴题分析 曾 皓 四川省绵阳南山中学 四川 绵阳 621000 摘 要:2014年四川高考理科数学压轴题 ,题型新颖,清新别致 ,试题层次分明,梯度适宜,顺应了新课程改革的潮流,为高中数 学教学起到了很好的引领作用 本文重点对第(Ⅱ)问进行了多角度、多层次的剖析,得到了有益的启迪和收获. 关键词 :压轴题 ;多角度 ;剖析 【题 目】(2014年高考数学四川卷理科第 21题 )已知函数 r( 1:e 一似2一bx一1,其中口,b∈R,e=2.71828⋯为自然对数的 底数 . (I)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上 的最小值 ; (Ⅱ)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a的取值 范嗣. 【评价】本题主要考察导数的运算 、导数在研究函数中的应 用、函数的零点等基础知识 、考查推理论证能力 、运算求解能力 、 创新意识、考查函数与方程 、数形结合 、分类与整合 、化归与转化 等数学思想,并考查思维的严谨性. 题 目只设置两问,精炼清晰.文字简短 ,表述自然平和,不拒 人于千里之外 ,给人以亲切感,让考生紧张的情绪得到一定的舒 缓,给予考生一种人文情怀又易于激发考生解决问题的潜能.该 题紧扣~2014年四川I高考数学考试说明》,不超纲,不怪异.既有对 中学数学“双基”的考核 ,更有对考生数学思维的灵活性和创新 能力的考查.试题层次分明,梯度适宜,信度和效度极好,是一道 优秀的高考压轴题,有利于正确引导高考数学方向;同时考题贴 近学生的学情,为新课程的推进起到指明航向的作用 ,值得广大 一 线教师深入研究和发扬光大. ‘ 【评析与解答】 第一问主要考查学生对导数的四则运算能力、分类与整合 的数学思想、思维的缜密及严谨性等能力 ,但要完全准确解答仍 有一定难度(解略 ). 本文重点研究第(Ⅱ)问. 分析一:本问是函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求参数的取 值范围,即等价于 f(x)的一阶导数 g(x)在区间(0,1)内至少有两 个零点.借助于第(I)问的解答可采用分类讨论的方式进行研究. 解 法 一 、设 Xo为 f(x)在 区 间 (0,1)内 的 一 个 零 点 ,则 由 /(O):f(Xo)=0 可知 , 在区问 (0,Xo) ,’( 1不可能单调递增 ,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正 ,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间 (0, )内存在零点 同理 g(x)在区间 (X0 1)内存在零点孙 所以 g(x)在 区间(0,1)内至少有两个零点 . 1 南(I)知,当口 ÷ 时,g(x)在[0,llAz单调递增,故g(x)在 (0,1)内至多有一个零点. 当 a 一e 时 ,g(x)-~E[0,1】上单调递减 ,故 g(x)在(O,1)内至多 2 圜 有一个零点 . 所以÷<a<三 . 此It~g(x)在区间(0,ln(2a)止单调递减 ,在区间(1n(2a),1)上单 调 递增 . 因此 ∈[0,ln(2a)】,x2∈(In(2a),1),必有 g(0) 1一b>0,g(1)⋯e 2a b>0. 由 1)=0,有a十b=e.1<2,有 g(0):1一b=a—e+2>0,g(1)⋯e 2a b=1一a>0, 解得 e一2<口<1. 当 e一2<a<1时 ,g(x)在区间【0,1】内有最小值 g(1n(2a)). 若 g(1n(2a)) 0,贝0 g(x) 0(x∈【0,

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