关于三角形内角平分线长的一个不等式

作者:卢素霞 刊名:福建中学数学 上传者:邢鑫

【摘要】三角形的内角平分线长的平方之和与内切圆半径的平方之间存在一个漂亮的不等式,本文拟给出该不等式的一个简短证明.最后还给出涉及中线长及高的两个类似不等式.文[1]给出如下漂亮的几何不等式:定理1设DABC的三边长为a,b,c,

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12 福建中学数学 2018年第2期 关于三角形内角平分线长的一个不等式 卢素霞 福建省厦门市集美中学(361021) 三角形的内角平分线长的平方之和与内切圆半径的平方之间存在一个漂亮的不等式,本文拟给出该不等式的一个简短证明.最后还给出涉及中线长及高的两个类似不等式. 文[1]给出如下漂亮的几何不等式: 定理 1 设 ABCD 的三边长为abc,, ,对应的内 角平分线长为 abc www, , ,内切圆半径为r ,则2 2 2 227 abc w w w r++≥ (1),当且仅当 ABCD 为等边三 角形时取等号.由均值不等式知 222 2 1( ) ( abc a www w + + ⋅ 2223 3 2 2 222 1 1 111 ) 3 3 9 abc b c abc www w w www + ≥ ⋅ =.故若能证 得定理 2 则定理 1 成立. 定理 2 设 ABCD 的三边长为abc,, ,对应的内 角平分线长为 abc www, , ,内切圆半径为r,则 2 1 + aw 2 2 2 111 3 bc w w r +≤ (2).当且仅当 ABCD 为等边三角 形时取等号. 文[1]中定理 2 的证明不容易.本文利用均值不等式和余弦定理给出定理 2 的一个简易证明. 证明 设三角形的面积为S , 则易知 2Sr abc = ++ . 角 A 的平分线把三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的面积和为S , 即 11 sin sin 2 2 2 2 aa AA cw bw S+=, 所以 2 ( )sin 2 a SW Abc= + . 同理 2 ( )sin 2 b SW Bac= + , 2 ( )sin 2 c SW Cab= + . 于是不等式(2)等价于 22 22 22( ) sin ( ) sin ( ) sin 222 ABC b c a c a b+ + + + + 21 () 3 abc≤ + + (3). 由余弦定理 222 cos 2 bcaA bc +− = , 得 222 2 1 cos 2sin 2 2 4 A A bc b c a bc − − − + = = ( )( ) 4 abcabc bc + − − + = . 同理 2 ( )( ) sin 24 B b c a b c a ac + − − + = , 2 ( )( )sin 24 C c a b c a b ab + − − + = . 代入( 3),可知不等式(3)等价于 23[ ( ) (a b c a+ 2)( ) ( ) ( ) ( ) (b c a b c b a c b c a b c a c a+ − − + + + + − ⋅ − + + + 22) ( )( )] 4 ( )b c a b c a b abc a b c+ − − + ≤ + + (4), 将a x y b x z c y z= + = + = +, , (其中xyz,, 为内 切圆在三边的切点到所在边的顶点的距离)代入上式,借助计算机计算并化简知不等式(4)等价于 4 4 4 4 4 4 3 2 3 2 3 23(x y z y x z y z y x z x x y x z y x+ + + + + + + + 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2) 8( )y z z x z y x y z x z y y z x+ + + ≥ + + (5), 由均值不等式得 4 4 4 4 4 4( ) ( ) ( )x y z y x z y

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