关于酉不变范数不等式的一个注记

作者:刘新;杨晓英 刊名:应用数学 上传者:黄晓梅

【摘要】本文研究酉不变范数不等式的问题.利用函数的凸性,得到关于矩阵酉不变范数的几个不等式,理论验证,证明了新不等式优于相关文献中的结果.

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应 用 数 学 M ATHEM ATICA APPLICATA 2018,31(2):417—421 关于酉不变范数不等式的一个注记 刘新 ,杨晓英 (四川信息职业技术学院基础教育部,四川 广元 628017) 摘要 :本文研 究酉不变范数 不等式的 问题.利 用函数 的凸性,得 到关于矩阵酉不 变范数的几个不等式,理论验证,证明了新不等式优于相关文献 中的结果. 关键词:酉不变范数:凸函数;半正定矩阵 中图分类号:O151.21 AMS(2000)主题分类:15A45;15A60 文献标识码:A 文章编号:1001—9847(2018)02—0417-05 1.引言 酉不变 范数在矩阵计算、最佳逼近 问题 以及扰动理论 中有着重要 的应用,是矩阵理论研 究 中重要的领域.而矩 阵酉不变范数不等式则是研究的热点之一,近年来受到国内外许多学者 的广泛关注和研 究【卜91.本文将继续这类问题的研究,给出一组新的矩阵酉不变范数不等式,改 进 了相关文献中的结果. 2.预备知识 设 , 表示 m ×n阶复矩阵集合, , 简记为 .记 AI(A),入2( ),⋯ , (A)是 矩阵 A ∈ 的所有特征值,并且 I入 (A)l I 2(A)I ⋯ I ( )1. 设 A,B ∈ 是 半正 定矩 阵,A B 表示 — B 是 半正 定 的.A ∈ 的奇异 值定 义为 A 的特 征 值的非负平方根.用 s1(A) 82(A) ⋯ 8n( )表示 A ∈ 的奇异值,记 s(A)= (81(A),s2(A),⋯ ,8n( )).用 表示 上任意的酉不变范数,即对于所有矩阵 A和酉矩 阵 V ∈ ,都有 lIUAVll= IIAIl成立.这其中,两类酉不变范数尤为重要.一类是Ky Fan七一范数 ( ),即 IIAll(%)= ∑ sj(A), =1,2,⋯ ,仃.第二类~Schatten p-范数 ,即 J=1 / 、 1 lIAll =I∑sf(A))=(triA l) ,其中P 1,tr表示迹函数,详见文[1—2】. 关于酉不变范数不等式的研究由来已久[卜 .Bhatia和 Davis在文[31中得到如下结论: 设 A,B, ∈ ,且 ,B是半正定矩阵,若 0 v l,则 2 l A~XB~ll IIA”XB 一 +Al-vXB ll IIAX+ B_1. 1998年,ZHAN在文『41中,证 明了 lIA XB 一 +A2-rXB IJ ÷ JI+tAXB+XB J J, (2.1) [1 『I一 f ‘,『l 『l 、 其中 1<2r<3,-2<t<2. 收稿 日期 :2017—07-16 基金项目:四川省教育厅自然科学基金 (15ZB0465) 作者简介:刘新,男,汉族,山东人,讲师,研究方向:矩阵理论与应用 418 应 用 数 学 2018 当 r一1,t=0时,就是代数一几何不等式 2 I 1 1 II IlAX+xBI1. 2011年,WANG等人在文『5]中改进了ZHAN 的结果,得到: l1 r B2一 +A2一r B II 2(2r0一1)IIAXBII+ II 2X+tAXB+XB2II, (2.2) 其中r0=min{r,2—7’ ,1 2r 3,-2<t 2. 记 (r)=IIA XB +A2rXB II,下面利用函数 ( )的凸性,得到关于 lIArXB0一+A2rXBr ll 的一组酉不变范数不等式,新不等式改进了文【5】的结果. 首先给 出一组引理. 引理2.1【 ]设 ,B,X ∈ ,且 ,JE}是半正定矩阵,则函数 (r)=II

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